Wstęp: co i po co?
W tej części kursu dowiesz się, co to jest zdanie w sensie logicznym oraz jakie spójniki logiczne odpowiadają spójnikom języka naturalnego.
W Klasycznym rachunku zdań (KRZ) rachujemy na zdaniach. Zanim powiemy, czym są owe "zdania" w rozumieniu KRZ, przypomnimy sobie, jakie są rodzaje zdań w języku naturalnym.
Są różne typy wypowiedzi w języku naturalnym ze względu na różne kryteria. Nas będą interesowały wyłącznie dwa kryteria, którymi są: 1) cel komunikacji (jaki był cel wypowiedzi?) oraz 2) złożoność strukturalna (czy wypowiedź jest zdaniem, a jeśli tak, to czy zawiera jako składniki inne zdania?)
Wypowiedź (komunikat) może zostać nadana w różnych celach - może to być rozkaz, pytanie, zakaz, prośba, wyrażenie emocji, a także informowanie o stanie rzeczy w świecie. Niektóre zdania mają taką formę, która jednoznacznie wskazuje na rodzaj komunikatu przekazywanego za pomocą tego zdania. Na przykład zdania rozkazujące, które zawierają czasownik w formie rozkazującej (Podaj kubek! Nie deptać trawników!), zazwyczaj wyrażają rozkazy bądź nakazy, a zdania pytające zazwyczaj wyrażają pytania (Byłeś dzisiaj w knajpie?). Lecz jest tak nie zawsze, ponieważ to samo zdanie (składające się dokładnie z tych samych słów) może zostać użyte do przekazywania innych komunikatów, na przykład służyć do wyrażania ironicznego stosunku nadawcy. Tak zdanie Byłeś dzisiaj w knajpie? wypowiedziane z ironią przestaje być pytaniem, a zdanie Uważaj na siebie! może wyrażać tak prośbę, jak i rozkaz.
Zdania oznajmujące zazwyczaj służą do opisu rzeczywistości bądź informowania o jakimś fakcie (uwaga: taka informacja nie musi być prawdziwa!) - Kraków jest stolicą Polski, Słoń waży 300 kilogramów. Nie wszystkie zdania, które są oznajmujące (czyli takie, w których czasowniki są w trybie oznajmującym), są używane do opisu rzeczywistości. Na przykład zdanie Mogę podać sól nie opisuje faktu, że ktoś posiada umiejętność podawania soli (byłoby to trywialne, ponieważ każdy taką umiejętność posiada) - to zdanie jest formą grzecznego pytania Czy podać sól?
Uwaga: pod względem rodzaju komunikatu, który może wyrażać zdanie, będą nas interesowały wyłącznie zdania opisujące rzeczywistość (których celem użycia była chęć opisania faktu w świecie, niezależnie, czy w sposób prawdziwy, czy nie). Kryterium rozpoznawania: można sensownie ocenić taką wypowiedź pod względem prawda / fałsz.
Komunikaty - oznajmienia, prośby, pytania, zakazy, rozkazy, ostrzeżenia - wcale nie muszą być wyrażone za pomocą zdań. Na przykład Wynocha! Odsunąć się! W lewo? Tam. Dziś są komunikatami (rozkazami, pytaniami, oznajmieniami), które nie są zdaniami. By wypowiedź została uznana za zdanie, musi zawierać orzeczenie. Na przykład:
Czytam.
Jest dobrym człowiekiem. [domyślamy się z kontekstu, że chodzi o Janka]
Śpi, pogwizdując sobie.
są zdaniami oznajmującymi. Mimo, że są one niepełne - podmiot w takich zdaniach został opuszczony - można domyślić się z kontekstu użycia takich zdań (czyli kontekstu wypowiedzi), o kogo chodzi. Orzeczenia bywają różne - czasownikowe (wyrażone za pomocą czasownika) oraz imienne (wyrażone za pomocą czasownika być, zostać, stać, po którym występuje przymiotnik, rzeczownik, przysłówek, imiesłów, liczebnik). Równoważniki zdań (wyrażone za pomocą imiesłowów, pogwizdując sobie) nie są uważane za zdania.
Ze względu na złożoność budowy zdania bywają proste i złożone. Zdania proste zawierają tylko jedno orzeczenie, a zdania złożone składają się z kilku zdań prostych. Zdania złożone w języku naturalnym są współrzędne i podrzędne.
Uwaga: pod względem budowy interesują nas komunikaty, które są zdaniami (zawierają orzeczenie).
Tym, na czym zamierzamy rachować - są zdania w sensie logicznym. Podstawową jednostką rachowania są zdania proste (czyli nie łączone logicznymi spójnikami oraz nie zawierające negacji). Wypowiedzi, które oceniamy pod względem tego, czy są zdaniami w sensie logicznym, muszą spełniać łącznie wszystkie poniższe warunki:
celem wypowiedzi musi być opis rzeczywistości [po czym poznamy: można sensownie powiedzieć, że to prawda / fałsz];
wypowiedź musi być zdaniem [po czym poznamy: zawiera orzeczenie]. Równoważników zdań nie uważamy za zdania.
Spójnikami logicznymi są następujące spójniki, które mogą mieć w języku potocznym różną realizację:
Logiczne AND (∧) "koniunkcja"
w języku potocznym realizowana w postaci spójników i, oraz, a także, ani, ale, lecz, a jednak, zaś, natomiast, też, a także za pomocą intonacji wyliczania (Stoję, marszczę czoło, palę, myślę znaczy to samo co Stoję oraz palę oraz marszczę czoło oraz myślę);
Logiczne OR (∨) "alternatywa"
w języku potocznym realizowana w postaci spójników albo, lub, czy, bądź;
Logiczne IF (→) "implikacja"
w języku potocznym realizowana w postaci spójników jeśli to, o ile to, a więc, a zatem, w zależności od tego czy, pod warunkiem że, gdyby;
Logiczne IFF (↔) "równoważność"
w języku potocznym realizowana w postaci spójników wtedy i tylko wtedy, zawsze i wyłącznie wtedy gdy, wtedy i wyłącznie wtedy gdy;
Funktor zdaniotwórczy (nie łączy zdań, lecz tworzy ze zdania inne zdanie):
Logiczne NOT (¬) "negacja"
w języku potocznym realizowana jako nieprawda, że; wcale tak nie jest, że, kłamstwem byłoby powiedzieć, że.
📌UWAGA: praktyka pokazuje, że symbole koniunkcji ∧ i alternatywy ∨ są często mylone. By je nie mylić, myśl o nich następująco:
koniunkcja ∧ - wyobraź sobie kropkę nad tym symbolem - wtedy przypomina on "i" (operacja AND);
alternatywa ∨ - ten symbol przypomina literkę "u", czyli "lub" (operacja OR).
Spójnik AND (A∧B): "A razem z B muszą być prawdziwe"
Wyobraź sobie, że policja posiada bazę jak na obrazku obok. Zgodnie z tą bazą zdania
Adam jest fałszerzem i jest karany - jest zdaniem prawdziwym;
Bogdan jest fałszerzem, Damian zaś jest karany - jest zdaniem prawdziwym;
Cyprian jest fałszerzem, natomiast nie jest karany - jest zdaniem prawdziwym;
Cyprian nie jest fałszerzem, ani nie jest karany - jest zdaniem fałszywym.
Spójnik OR (A∨B): "Cokolwiek z A, B musi być prawdziwe"
Zgodnie z bazą policyjną z obrazka zdania
Adam jest fałszerzem bądź jest karany - jest zdaniem prawdziwym;
Bogdan jest fałszerzem albo Damian jest karany - jest zdaniem prawdziwym;
Cyprian jest fałszerzem lub jest karany - jest zdaniem prawdziwym;
Cyprian albo nie jest fałszerzem, albo jest karany - jest zdaniem fałszywym.
Spójnik NOT (¬A): "A nie zachodzi"
Zgodnie z bazą policyjną z obrazka zdania
Cyprian nie jest karany - jest zdaniem prawdziwym;
Nie jest prawdą, że Damian jest fałszerzem - jest zdaniem prawdziwym;
Nieprawda, że Adam jest fałszerzem - jest zdaniem fałszywym.
Spójnik IF (A→B): "Wystarczy że A, a będzie B"
Znany muzyk X mówi: "Nie muszę wysilać się, by fani nie poznali, że to ja. Wystarczy jakikolwiek kamuflaż. Zapuszczę brodę - nie poznają, założę perukę - nie poznają, ba! nawet okulary założę - już nie poznają!". W świetle tej historyjki zdania
Jeśli zapuszczę brodę, to fani mnie nie poznają - jest prawdziwe;
Fani mnie nie poznają, o ile ubiorę okulary - jest prawdziwe;
Zapuściłem brodę, więc fani mnie nie poznali - jest prawdziwe;
Fani mnie poznają, jeśli zapuszczę brodę - jest fałszywe.
Spójnik IFF (A↔B): "Wystarczy że A, a będzie B oraz bez A nie będzie tak, że B"
Znany muzyk X tym razem mówi: "Zauważyłem, że tylko broda pomaga, by fani mnie nie poznali. Jakikolwiek inny kamuflaż nie działa. Zapuszczę brodę - nie poznają, a jak założę okulary, to poznają, ba! nawet jak perukę założę - też poznają!". W świetle tej historyjki zdania
Fani mnie poznają zawsze i tylko wtedy, gdy nie zapuszczę brody - jest prawdziwe;
Fani mnie nie poznają, jeśli (i tylko wtedy gdy) zapuszczę brodę - jest prawdziwe;
Jeśli zapuszczę brodę, to fani mnie nie poznają - jest prawdziwe;
Jeśli fani mnie nie poznają, to zapuściłem brodę - jest prawdziwe;
Fani mnie nie poznają, jeśli założę okulary - jest fałszywe.
Zauważ, że mamy dwa spójniki wyrażające warunek, implikację IF (→) oraz równoważność IFF (↔). Spójniki te różnią się następująco:
załóżmy, że wiemy, że Asia nie będzie głodna - wystarczy, że na przykład zje kotleta. Powiemy: "Jeśli Asia zje kotleta, to nie będzie głodna" / "Asia nie będzie głodna, o ile zje kotleta" / "Asia nie będzie głodna, wystarczy że zje kotleta". Użyjemy dla wyrażenia takiej zależności spójnika IF (→). Nie wyklucza to sytuacji, że Asia nie będzie głodna, gdy zje co innego niż kotlet, na przykład zje hamburgera / duże risotto / kurczaka / 12 pączków itd; (Asia je kotlet)→(Asia nie jest głodna);
załóżmy, że Asia jest dość specyficzną osobą - nie jest głodna wyłącznie wtedy gdy zje kotleta (nie nasyci jej nic innego). Użyjemy dla wyrażenia tej zależność spójnika IFF (↔): "Jeśli Asia zje kotleta, to nie będzie głodna, ale wyłącznie wtedy, gdy zje kotleta" / "Asia nie będzie głodna wtedy i wyłącznie wtedy, gdy zje kotleta" / "Zawsze i wyłącznie wtedy, gdy Asia zjada kotleta, nie jest ona głodna"; (Asia je kotlet)↔(Asia nie jest głodna).
Częstym błędem jest mylenie spójnika tylko jeśli (tylko wtedy gdy) ze spójnikiem jeśli i tylko jeśli (wtedy i tylko wtedy gdy)
1. tylko jeśli – implikacja
Spójnik „tylko jeśli” odpowiada implikacji (→). Oznacza, że pierwsza część zdania jest warunkiem dla drugiej. Można to ująć w następujący sposób:
A tylko jeśli B - oznacza, że jeśli A, to B.
Przykład: Człowiek oddycha, tylko jeśli żyje. (A → B).
To zdanie można interpretować jako: „Jeśli człowiek oddycha, to żyje.” Jeśli A jest prawdziwe, to B musi być również prawdziwe. Jednak nie mówi nic o sytuacji, gdy A jest fałszywe: jeśli człowiek nie oddycha, może nie żyć, ale także może żyć — w tej sytuacji nie mamy informacji o prawdziwości B.
2. jeśli i tylko jeśli – równoważność
Spójnik „jeśli i tylko jeśli” odpowiada równoważności (↔). Oznacza, że A i B są w pełni ze sobą powiązane: jeśli A jest prawdziwe, to B jest prawdziwe, a jeśli A jest fałszywe, to B również jest fałszywe. Oba zdania są równoważne.
Przykład: Trójkąt jest prosty, jeśli i tylko jeśli jeden z jego kątów jest kątem prostym (A ↔ B). To zdanie można interpretować jako: "Jeśli trójkąt jest prosty, to jeden z jego kątów jest kątem prostym, a jeśli trójkąt nie jest prosty, to żaden z jego kątów nie jest prosty". W odróżnieniu od implikacji przy równoważności jeśli A jest fałszywe, to B również.
Zdania proste w sensie logicznym (oprócz tego, że jest zdaniem) dodatkowo spełnia następujące warunki:
musi zawierać tylko jedno zdanie główne;
nie zawiera negacji;
nie wyraża alternatywy (albo zajdzie jedno wydarzenie, albo drugie), warunku (jedno zdarzenie jest warunkiem drugiego) i wyliczania (zachodzą zdarzenia te, te, i te) - czyli nie zawiera wyrażeń, których znaczeniem są spójniki logiczne.
📌UWAGA: definicja zdania prostego w sensie logicznym to dwa warunki wzięte łącznie: 1) jest to zdanie w sensie logicznym; 2) nie zawiera wyrażenia, które oznacza któregokolwiek z 5 spójników logicznych. W związku z tym, że w języku naturalnym są spójniki, które nie oznaczają żadnego z 5 spójników logicznych (na przykład aby, dlatego, mianowicie, ponieważ), to zdania z tymi spójnikami są zdaniami prostymi w sensie logicznym. Tak zdania Beata ugryzła jabłko, ponieważ nie smakowała jej gruszka, Marek kupił tort, aby uczcić imieniny babci są zdaniami prostymi w sensie logicznym; jest tak dlatego, że spójniki ponieważ oraz aby nie wyrażają koniunkcji, alternatywy, implikacji, równoważności albo negacji.
📌UWAGA: jeśli nie jesteś pewien, który spójnik logiczny odpowiada spójnikowi w wypowiedzi, to zawsze możesz wymienić spójnik w wypowiedzi na inny w obrębie puli spójników-odpowiedników z języka naturalnego: jeśli po zamianie zdanie intuicyjnie znaczy to samo, to wybrałeś dobry spójnik. Przykład: Mimo że tata kupił kwiaty, babcia była smutna. Spójnikowi mimo że odpowiada logiczny spójnik AND - jeśli zamienimy mimo że na spójnik a / zaś / natomiast, który znajduje się w obrębie spójników-odpowiedników dla AND, to sens zdania nie zmieni się: Tata kupił kwiaty, a / zaś / natomiast babcia była smutna.
Spróbuj ocenić, jakim spójnikom logicznym odpowiadają spójniki z języka naturalnego.
Jeśli rozumiesz spójniki, to spróbuj zagrać w "Żarła żaba żur z rzeżuchą" (jeśli oglądasz na komórce, to kliknij LINK DO GRY)