4. Semantyka

Co to znaczy?

W rachunku zdań mieliśmy tak, że zdania proste same w sobie nie były ani prawdziwe, ani fałszywe - ich znaczenie (którym jest wartość logiczna) jest ustalane za pomocą interpretacji (jest to funkcja, która przyporządkowuje zmiennym zdaniowym (które zastępują zdania proste) wartości logiczne). Zbiór wszystkich zmiennych zdaniowych, którym została przyporządkowana wartość prawda (przy określonej interpretacji), nazywa się modelem (na jego oznaczenie będziemy stosowali litery ℳ ). Natomiast w rachunku predykatów zdanie (jak już wiesz) nie jest czymś syntaktycznie prostym (nie jest zapisywane za pomocą pojedynczego symbolu), a jest budowane za pomocą predykatów, termów oraz kwantyfikatorów. W związku z czym to, co zdanie znaczy (jego wartość logiczna), jest zależne od tego, co znaczą jego składniki, czyli predykaty i termy (kwantyfikatory mają stałe znaczenie).

Zastanówmy się na chwilę: mówimy o znaczeniu, o ustalaniu bądź nadawaniu znaczenia. Ale nadawaniu znaczenia czemu? Mamy język KRP, w którym są różne typy symboli (stałe indywiduowe i stałe predykatywne), i chcemy, by te symbole były znaczące - czyli stały się znakami, za pomocą których jest przekazywana informacja o świecie. By tak się stało (by symbole stały się znaczące), należy po pierwsze, określić, do przekazania jakiej informacji te typy symboli mogą zostać użyte. Po drugie, skoro chcemy, by ta przekazywana informacja była w jakiś sposób informacją o świecie, więc trzeba określić, jaki jest świat - co dokładnie w tym świecie istnieje, jakie cechy posiadają przedmioty i w jakie relacje wchodzą. 

Dziedzina - co istnieje?

Zacznijmy od tego drugiego zagadnienia, czyli ustalenia, jakie przedmioty istnieją w świecie. Z matematycznego punktu widzenia mówimy o dziedzinie - o zbiorze (będziemy zakładać, że jest on niepusty) przedmiotów, które istnieją. Dziedzinę będziemy oznaczali za pomocą literki D i (skoro to zbiór) będziemy ją określali po prostu poprzez wymienianie przedmiotów, które do tej dziedziny należą. Załóżmy, że określimy naszą dziedzinę D następująco:

D = {🧔, 👨‍🦰, 😈, 😨, 🥹, 🐶, 🏠, 🌴} 

Są to wszystkie przedmioty, z których składa się nasz "świat", o którym chcemy mówić (jeśli chcesz mówić o innym świecie, to musisz inaczej zdefiniować dziedzinę). 

Interpretacja - łączenie języka ze światem

Rozważmy język, który nazwiemy L i który będzie składał się z następujących symboli stałych indywiduowych i stałych predykatywnych (zauważ, że we wszystkich językach KRP są takie same symbole dla zmiennych, spójniki, kwantyfikatory i nawiasy, więc nie musimy tych symboli wymieniać przy określaniu języka):

1. stałych indywiduowych a, b, c, d, e;

2. stałych predykatywnych 

• jednoargumentowych C, P, D;

• dwuargumentowych M, K;

• trzyargumentowych R.

Zostaje jedynie określić, co te symbole znaczą. Robimy to za pomocą funkcji I (czyli interpretacji), która poszczególnym symbolom języka L przypisuje znaczenie (czyli to, co ten symbol znaczy) w następujący sposób (patrz tabelę niżej):

Niech c będzie dowolną stałą indywiduową, a V będzie dowolną n-argumentową stałą predykatywną. Wtedy 

• I(c)∈D (funkcja I dowolnej stałej indywiduowej przypisuje element dziedziny D);

• I(V)⊆Dn (funkcja I dowolnej n-argumentowej stałej predykatywnej przypisuje podzbiór dziedziny razy n, czyli 1-argumentowym stałym przypisuje po prostu podzbiór D, 2-argumentowym przypisuje zbiór par (podzbiór iloczynu kartezjańskiego D2), 3-argumentowym przypisuje zbiór trójek (podzbiór D3) itd.)

Czyli stałe indywiduowe interpretujemy jako nazwy przedmiotów, a stałe predykatywne interpretujemy jako nazwy cech i relacji, w których znajdują się przedmioty w świecie.

By łatwiej było mówić, przyjmiemy, że:

• stałe indywiduowe a, b, c, d, e są odpowiednikami nazw własnych Artur, Bartek, Cezar, Danka, Ela;

• stałe predykatywne są odpowiednikami predykatów: C "chłopak", P "pies", D "dom", M "mieszka", K "kocha", R "rozmawia z o". 

Model

Zastanów się na chwilę: określiliśmy, co istnieje, oraz ustaliliśmy interpretację (czyli ustaliliśmy znaczenie wszystkich symboli języka L - jakie przedmioty i relacje nazywają symbole tego języka). Wiemy już, że w naszym świecie jest tak (popatrz na tabelkę), że Artur kocha Elę, natomiast Ela nie - Ela kocha Bartka (z wzajemnością). Ale zaraz - jesteśmy w stanie określić, czy jakieś zdania są prawdziwe w oparciu wyłącznie o wiedzę, jakie znaczenie mają składniki zdań! - Dokładnie o tę zależność oparta jest definicja prawdziwości zdań (szerzej - definicja spełniania formuł). Intuicyjnie zdanie jest prawdziwe, jeśli jest tak, że obiekty, które zostały nazwane przez nazwy, faktycznie znajdują się w relacji nazwanej przez predykat występujący w zdaniu. Do ustalenia tego potrzebowaliśmy jedynie wiedzy, jaki jest świat (co istnieje), jakie przedmioty w świecie nazywają nazwy oraz jakie cechy i relacje nazywają predykaty języka L. Spróbujmy to bardziej sprecyzować: czyli by wiedzieć, czy jakieś zdanie języka L jest prawdziwe (fałszywe), potrzebujemy znajomości wyłącznie dwóch rzeczy - określenia, jaka jest dziedzina, oraz określenia, jakie znaczenie zostało przypisane symbolom L, a to ostatnie jest niczym innym, tylko interpretacją I. Tym samym model ℳ to para - dziedzina D oraz interpretacja I, ponieważ znajomość dziedziny oraz interpretacji jest konieczna i wystarczająca do ustalenia, czy dowolne zdanie pisane w języku L jest prawdziwe czy fałszywe.

Rozważmy na razie zdania z zaimkami, takie jak "Artur rozmawia z Elą o czymś" albo "Wszyscy kochają Elę". Intuicyjnie, by pierwsze zdanie było prawdziwe, wystarczy, że do interpretacji "rozmawia" (czyli do wartości funkcji I od R) będzie należała trójka przedmiotów, Artur🧔, Ela 🥹 oraz ... no właśnie, jakikolwiek przedmiot z dziedziny. Popatrzmy na interpretację "rozmawia". Znajdziemy w niej trójkę  <🧔, 🥹,🌴> - czyli w naszym świecie tak się stało faktycznie, że Artur rozmawia z Elą o palmie, więc nasze zdanie "Artur rozmawia z Elą o czymś" jest prawdziwe. A jak jest ze zdaniem "Wszyscy kochają Ewę"? By było prawdziwe, musi być tak, że każdy przedmiot z dziedziny będzie w relacji kochania z 🥹. Tak nie jest, chociażby dlatego, że para <😨, 🥹> nie należy do interpretacji "kocha" (czyli zdanie "Wszyscy kochają Ewę" jest fałszywe, wystarczy że Danka Ewy nie kocha). Wniosek z tego jest taki: kwantyfikatory kwantyfikują po obiektach w jakimś zbiorze i jeśli nie jest powiedziane, po jakich obiektach (spełniających jaką cechę), to kwantyfikatory kwantyfikują po obiektach w największym zbiorze, czyli .... dokładnie, czyli po obiektach dziedziny (po wszystkim, co istnieje w świecie). Duży kwantyfikator można odczytać jako "dowolny / każdy obiekt z dziedziny", a mały jako "co najmniej jeden / jakiś / istnieje taki obiekt w dziedzinie".

A co wtedy, kiedy mówimy nie o jakimś obiekcie dziedziny, tylko o jakimś spełniającym określoną cechę? Na przykład "Ela kocha jakiegoś chłopca". Pamiętamy: najpierw przetłumaczymy to zdanie na KaRPiowy, Istnieje taki x: C(x) ∧ K(e, x). Możemy powiedzieć "Istnieje taki chłopiec, którego kocha Ela". Tym razem mały kwantyfikator kwantyfikuje nie po obiektach dziedziny ("wśród istniejących obiektów dziedziny istnieje taki obiekt...."), tylko po tych obiektach dziedziny, które są chłopcami ("wśród chłopców istnieje taki, którego kocha Ela"). Podobnie zachowuje się duży kwantyfikator: w zdaniu "wszyscy chłopcy kochają Elę" duży kwantyfikator kwantyfikuje po tych obiektach dziedziny, które są chłopcami ("każdy chłopiec jest taki, że kocha (on) Elę").

Youtube