5. Semantyka cd.

Otwarte formuły

Do tej pory mówiliśmy o prawdziwości zdań. Natomiast, jak pamiętamy, nie wszystkie formuły KRP są zdaniami. Chcemy, by definicja spełniania formuł w modelu była ogólna, czyli dotyczyła nie tylko zdań, lecz również formuł otwartych (tych, w których są wolne wystąpienia zmiennych). Na przykład: czy w naszym modelu jest spełniona formuła K(x,y)? - Hm, to zależy od tego, jakie obiekty podstawimy za x i y. W związku z tą zależnością od podstawienia w przypadku otwartych formuł warunki ich spełniania zależą od wartościowania - sposobu podstawienia obiektów za zmienne, czyli, matematycznie ujmując, od funkcji, która dowolnej zmiennej indywiduowej przypisuje konkretny obiekt z dziedziny. Takie funkcje będziemy oznaczali g1, g2, g3, .... 

Spełnianie w modelu

Zdefiniowaliśmy termy jako zmienne oraz stałe indywiduowe. Teraz zdefiniujemy wartość termu (czyli to, co term znaczy). Niech t będzie dowolnym termem (stałą indywiduową bądź dowolną zmienną indywiduową), a g będzie dowolnym wartościowaniem.  

Teraz możemy podać definicję spełniania dowolnej formuły w modelu (w przypadku formuł, które są zdaniami, mówimy po prostu o prawdziwości). Zauważ, że jest to po prostu precyzyjne wysłowienie tego, co do tej pory sprawdzaliśmy "na chłopski rozum":

Zapis g[x/d] oznacza, że zmieniamy wartościowanie g na dokładnie takie same z wyjątkiem, że zmiennej x przypiszemy obiekt d jako wartość. Zobacz, że definicje spełniania formuł z kwantyfikatorami są bardzo intuicyjne:

ℳ g ⊨ ∃x(α) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przedmiot d w dziedzinie taki, że jeśli podstawimy go za wartość x w formule α, formuła ta będzie spełniona;

ℳ g ⊨ ∀x(α) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przedmiotu d w dziedzinie jest tak, że jeśli podstawimy go za wartość x w formule α, formuła ta będzie spełniona.

Zauważ, że dokładnie tak sprawdzaliśmy "na wyczucie", czy zdania z kwantyfikatorami są prawdziwe. Teraz mamy to "wyczucie" precyzyjnie ujęte.

Przykłady spełniania

ℳ g  ⊨ K(a,e) wtw <∥a∥g , ∥e∥g> ∈ I(K) wtw <I(a), I(e)> ∈ {<👨‍🦰,🥹>, <🧔,🥹>, <🥹,👨‍🦰> } wtw <🧔, 🥹> ∈ {<👨‍🦰,🥹>, <🧔,🥹>, <🥹,👨‍🦰>}. TAK, SPEŁNIONA W MODELU

ℳ g3  ⊨ R(x,y,z) wtw <∥x∥g3, ∥y∥g3, ∥z∥g3> ∈ I(R) wtw <g3(x), g3(y), g3(z)> ∈ {<🧔, 🥹,🌴>, <🥹,👨‍🦰,🐶>, <😨,😈,🏠>, <😈,👨‍🦰,🐶>} wtw <🐶, 🐶, 🧔> ∈ {<🧔, 🥹,🌴>, <🥹,👨‍🦰,🐶>, <😨,😈,🏠>, <😈,👨‍🦰,🐶>}. NIE, NIE JEST SPEŁNIONA W MODELU.

ℳ g  ⊨ P(c) wtw ∥c∥g ∈ I(P) wtw I(c) ∈ {🐶 } wtw 🐶  ∈ {🐶 }. TAK, SPEŁNIONA W MODELU

ℳ g2 ⊨ D(z) wtw ∥z∥g2∈ I(D) wtw g2(z) ∈ {🏠 } wtw 🐶 ∈ {🏠}. NIE, NIE SPEŁNIONA W MODELU

ℳ g3  ⊨ R(x,y,z)∧P(c) wtw ℳ g3  ⊨ R(x,y,z) oraz ℳ g3  ⊨ P(c) wtw <∥x∥g3, ∥y∥g3, ∥z∥g3> ∈ I(R) oraz  ∥c∥g3 ∈ I(P)  wtw <g3(x), g3(y), g3(z)> ∈ {<🧔, 🥹,🌴>, <🥹,👨‍🦰,🐶>, <😨,😈,🏠>, <😈,👨‍🦰,🐶>} oraz I(c) ∈ {🐶 } wtw <🐶, 🐶, 🧔> ∈ {<🧔, 🥹,🌴>, <🥹,👨‍🦰,🐶>, <😨,😈,🏠>, <😈,👨‍🦰,🐶>} oraz 🐶  ∈ {🐶 }. NIE, NIE JEST SPEŁNIONA W MODELU

ℳ g3  ⊨ R(x,y,z)↔P(c) wtw ℳ g3  ⊨ R(x,y,z) wtedy i tylko wtedy gdy ℳ g3  ⊨ P(c) wtw <∥x∥g3, ∥y∥g3, ∥z∥g3> ∈ I(R) wtedy i tylko wtedy gdy  ∥c∥g3 ∈ I(P)  wtw <g3(x), g3(y), g3(z)> ∈ {<🧔, 🥹,🌴>, <🥹,👨‍🦰,🐶>, <😨,😈,🏠>, <😈,👨‍🦰,🐶>} wtedy i tylko wtedy gdy I(c) ∈ {🐶 } wtw <🐶, 🐶, 🧔> ∈ {<🧔, 🥹,🌴>, <🥹,👨‍🦰,🐶>, <😨,😈,🏠>, <😈,👨‍🦰,🐶>} wtedy i tylko wtedy gdy 🐶  ∈ {🐶 }. NIE, NIE JEST SPEŁNIONA W MODELU (równoważność jest spełniona, gdy oba człony równoważności są spełnione bądź oba człony równoważności nie są spełnione - właśnie to uchwytuje warunek "wtedy i tylko wtedy gdy" w definicji spełniania równoważności) 

ℳ g  ⊨ ∃x∃y∃zR(x,y,z) wtw istnieje obiekt d ∈ D taki że ℳ g [x/d]⊨ ∃y∃zR(x,y,z) wtw istnieje obiekt d ∈ D, istnieje obiekt e ∈ D taki że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ ∃zR(x,y,z) wtw istnieje obiekt d ∈ D, istnieje obiekt e ∈ D, istnieje obiekt f ∈ D taki że  ℳ g [x/d][y/e][z/f] ⊨ R(x,y,z) wtw istnieje obiekt d ∈ D, istnieje obiekt e ∈ D, istnieje obiekt f ∈ D taki że <d,e,f> ∈ I(R) wtw istnieje obiekt d ∈ D, istnieje obiekt e ∈ D, istnieje obiekt f ∈ D taki że <d,e,f>∈{<🧔, 🥹,🌴>,<🥹,👨‍🦰,🐶>,<😨,😈,🏠>,<😈,👨‍🦰,🐶> }. TAK, SPEŁNIONA (wystarczy, że d=🧔, e=🥹, f=🌴).

ℳ g  ⊨ ∃x∀y(C(y)→K(y,x)) wtw istnieje obiekt d ∈ D taki że ℳ g [x/d] ⊨ ∀y(C(y)→K(y,x)) wtw istnieje obiekt d ∈ D taki że dla każdego obiektu e ∈ D ℳ g [x/d][y/e] ⊨ C(y)→K(y,x) wtw istnieje obiekt d ∈ D taki że dla każdego obiektu e ∈ D albo nie jest tak, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ C(y) lub jest tak, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ K(y,x) wtw istnieje obiekt d ∈ D taki że dla każdego obiektu e ∈ D albo nie jest tak, że e ∈ I(C) lub jest tak, że <e, d> ∈ I(K) wtw istnieje obiekt d ∈ D taki że dla każdego obiektu e ∈ D albo nie jest tak, że e ∈ {🧔,👨‍🦰 } lub jest tak, że <e, d> ∈ {<👨‍🦰,🥹>, <🧔,🥹>, <🥹,👨‍🦰>}. TAK, SPEŁNIONA (wystarczy, że d=🥹, a za e weźmiemy każdy obiekt ze zbioru {🧔,👨‍🦰}). 

ℳ g  ⊨ ¬∃x∃y(C(y)∧K(y,x)) wtw nie jest tak, że ℳ g  ⊨ ∃x∃y(C(y)∧K(y,x)) wtw nie jest tak, że istnieje obiekt d ∈ D taki że ℳ g [x/d] ⊨ ∃y(C(y)∧K(y,x)) wtw nie jest tak, że istnieje obiekt d ∈ D taki, że istnieje obiekt e ∈ D taki, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ C(y)∧K(y,x) wtw nie jest tak, że istnieje obiekt d ∈ D taki, że istnieje obiekt e ∈ D taki, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ C(y) oraz ℳ g [x/d][y/e] ⊨ K(y,x) wtw nie jest tak, że istnieje obiekt d ∈ D taki, że istnieje obiekt e ∈ D taki, że e ∈ I(C) oraz <e, d> ∈ I(K) wtw nie jest tak, że istnieje obiekt d ∈ D taki, że istnieje obiekt e ∈ D taki, że e ∈ {🧔,👨‍🦰} oraz <e, d> ∈ {<👨‍🦰,🥹>, <🧔,🥹>, <🥹,👨‍🦰>}. NIE, NIE JEST SPEŁNIONA (wystarczy, że e=🧔, a d=🥹. Wtedy 🧔∈ {🧔,👨‍🦰} oraz <🧔,🥹> ∈ {<👨‍🦰,🥹>, <🧔,🥹>, <🥹,👨‍🦰>}).

ℳ g  ⊨ ∀x∀y(P(x)→(D(y)∧M(x,y))) wtw gdy dla każdego obiektu d ∈ D jest tak, że ℳ g [x/d] ⊨ ∀y(P(x)→(D(y)∧M(x,y)))  wtw gdy dla każdego obiektu d ∈ D, dla każdego obiektu e ∈ D jest tak, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ P(x)→(D(y)∧M(x,y)) wtw gdy dla każdego obiektu d ∈ D, dla każdego obiektu e ∈ D albo nie jest tak, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ P(x) lub jest tak, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ D(y)∧M(x,y) wtw gdy dla każdego obiektu d ∈ D, dla każdego obiektu e ∈ D albo nie jest tak, że d ∈ I(P) lub jest tak, że ℳ g [x/d][y/e] ⊨ D(y) oraz ℳ g [x/d][y/e] ⊨ M(x,y) wtw gdy dla każdego obiektu d ∈ D, dla każdego obiektu e ∈ D albo nie jest tak, że d ∈ {🐶} lub jest tak, że e ∈ I(D) oraz <d, e> ∈ I(M) wtw gdy dla każdego obiektu d ∈ D, dla każdego obiektu e ∈ D albo nie jest tak, że d ∈ {🐶} lub jest tak, że e ∈ {🏠} oraz <d, e> ∈ {<👨‍🦰,🏠>,<🥹,🏠>, <🐶,🏠> }. TAK, JEST SPEŁNIONA (ponieważ każdy obiekt, który należy do {🐶}, czyli 🐶, oraz każdy obiekt, który należy do  {🏠}, czyli 🏠, tworzą parę, czyli <🐶,🏠>, która znajduje się w {<👨‍🦰,🏠>,<🥹,🏠>, <🐶,🏠> }).

FAQ

Ostre nawiasy - czy mogę je opuścić / zamienić na okrągłe?

Ogólnie nie możesz (oprócz w przypadku, kiedy mowa jest o pojedynczym przedmiocie i kiedy mylnie chcesz napisać <🐶> zamiast 🐶). Ostre nawiasy oznaczają porządek, na przykład kolejność elementów n-tki (pary, trójki etc) i ta kolejność jest ważna - jest ważne, jaki przedmiot znajduje się na jakiej pozycji (czyli jaką rolę pełni w relacji). Zauważ, że para <🧔,🥹> znajduje się w relacji kochania (należy do I(K)), natomiast para  <🥹, 🧔> nie należy do tej relacji (czyli nie jest to miłość odwzajemniona). Ogólnie dla dowolnej pary <a, b> = <b, a> wtedy i tylko wtedy, gdy a = b.

Co jest złego w napisaniu "...istnieje obiekt d ∈ D taki że C(x)?"

Niestety, ten zapis nie jest właściwy (choć można intuicyjnie zrozumieć, o co chodzi). Przy takim zapisie nie wiadomo, co zależy od istnienia takiego obiektu. Przecież C(x) to tylko formuła - ma być składnikiem jakiejś innej formuły? Ma być spełniona? Niespełniona? Być warunkiem spełniania innej formuły? Gdy piszemy "istnieje obiekt d ∈ D taki, że ℳ g [x/d]⊨ C(x)", wyrażamy się precyzyjnie: mówimy, że istnieje taki element dziedziny d, że po podstawieniu go za zmienną x (czyli zmiana wartościowania g na g[x/d]), formuła C(x) jest spełniona w modelu ℳ. Nie należy mylić formuły (rozumianej jako wyrażenie języka) z jej znaczeniem, czyli wartością logiczną przy określonym wartościowaniu zmiennych. 

Czy mogę skrótowo napisać ∥x1∥y2∥g3 

Nie, nie możesz. Ten zapis jest niepoprawny. Musisz napisać ∥x1∥g3, ∥y2∥g3 , co oznacza "wartość termu x1 przy wartościowaniu g3, wartość termu y2 przy wartościowaniu g3".

Czy mogę skrótowo napisać ∥<z3,x3,y4>∥ ∈ I(R) albo <∥z3,x3,y4∥> ∈ I(R) albo <z3,x3,y4> ∈ I(R)? 

 Nie, nie możesz. Ten zapis jest niepoprawny. Po pierwsze, zgubiłeś wartościowanie. Musisz napisać <∥z3∥g3, ∥x3∥g3, ∥y4∥g3 > ∈ I(R), co oznacza "trójka uporządkowana złożona z obiektów - wartości termu z3 przy wartościowaniu g3, wartości termu x3 przy wartościowaniu g3, wartości termu y4 przy wartościowaniu g3 - należy do wartości funkcji interpretacji I od argumentu R". Przypomnij sobie, co oznacza zapis ∥t∥g (zobacz definicję). Po drugie, do I(R) należą trójki przedmiotów, a nie trójki literek (a tak wynika z twojego zapisu). 

Czy mogę napisać <I(z3), I(x3), I(y4)> ∈ I(R)? 

 Nie, nie możesz. Ten zapis jest niepoprawny. Po pierwsze, zgubiłeś wartościowanie. Po drugie, funkcja I nie jest określona dla zmiennych (jej argumentami są stałe - indywiduowe oraz predykatywne, zobacz definicję). Musisz napisać <∥z3∥g3, ∥x3∥g3, ∥y4∥g3 > ∈ I(R), co oznacza "trójka uporządkowana złożona z obiektów - wartości termu z3 przy wartościowaniu g3, wartości termu x3 przy wartościowaniu g3, wartości termu y4 przy wartościowaniu g3 - należy do wartości funkcji interpretacji I od argumentu R". Przypomnij sobie, co oznacza zapis ∥t∥g (zobacz definicję). 

Czy mogę skrótowo napisać g1(x, y) bądź <I(a, b)>∈ I(R) 

Nie, nie możesz. Ten zapis jest niepoprawny - wynika z niego, że funkcja wartościowania g1 jest dwuargumentowa, a przecież tak nie jest (zobacz definicję). Zamiast tego musisz napisać g1(x), g1(y). Identycznie jest w przypadku funkcji I, która również jest jednoargumentowa (zobacz definicję). Zamiast tego musisz napisać <I(a), I(b)>∈ I(R) 

Czy mogę skrótowo napisać <a,b> ∈ I(K)

Nie, nie możesz. Ten zapis jest niepoprawny - wynika z niego, że w relacji kochania znajduje się para literek z języka (a nie obiekty, które są znaczeniem tych literek, czyli 🧔 i 🥹).

To dlaczego mogę napisać <d,e> ∈ I(K), skoro nie mogę napisać <a,b> ∈ I(K)?

Ponieważ oznaczyłeś, że chodzi o przedmioty z dziedziny - piszesz, że dla obiektu d ∈ D  oraz dla obiektu e ∈ D (no i oczywiście wybrałeś na oznaczenie przedmiotów z dziedziny takie literki, których nie ma w alfabecie L, by nie było kolizji oznaczeń).

Dlaczego nie mogę napisać "... d ∈ D,  że ∥d∥ ∈ I(B)" ?

Ponieważ oznaczyłeś, że chodzi o przedmioty z dziedziny - piszesz, że dla obiektu d ∈ D, a skoro tak, to ów obiekt (przedmiot z dziedziny, taki jak na przykład 🥹,🏠, 🐶)  nie jest elementem języka L, w związku z czym nie jest termem i zapis ∥d∥ jest niepoprawny.

Czy mogę skrótowo napisać g1(x)∈ P?

Nie, nie możesz. ten zapis jest niepoprawny - napisałeś dosłownie "wartość funkcji  g1 od argumentu x należy do... literki P". Do literki P nic nie należy, ponieważ literka P jest literką języka, a nie zbiorem. Natomiast tym, co ta literka znaczy, jest zbiór, czyli wartość przypisana literce P za pomocą funkcji interpretacyjnej I. Dlatego należy zapisać g1(x)∈ I(P).

Czy mogę skrótowo napisać ∥x∥∈ P?

Nie, nie możesz. Ten zapis jest niepoprawny - napisałeś dosłownie "wartość termu x należy do... literki P". Po pierwsze, "wartość termu x" niczego nie oznacza, póki nie powiesz, przy jakim wartościowaniu (ponieważ w zależności od wartościowania g zmienna x może oznaczać różne przedmioty). Po drugie, do literki P nic nie należy, ponieważ literka P jest literką języka, a nie zbiorem. Natomiast tym, co ta literka znaczy, jest zbiór, czyli wartość przypisana literce P za pomocą funkcji interpretacyjnej I. Dlatego należy zapisać g1(x)∈ I(P) bądź ∥x∥g1∈ I(P).

Czy mogę napisać ℳ g[x/d] ⊨ d ∈ I(P) ?

Nie, nie możesz. Ten zapis jest niepoprawny - przecież w modelu ℳ są spełnione formuły, a "d ∈ I(P)" formułą nie jest. Przypomnij sobie definicje modelu oraz pojęcie spełniania formuł w modelu, które miałeś na KRZ.