3. Tłumaczenie z / na krz

W tej części kursu nauczysz się tłumaczyć na KRZ oraz poznasz najczęstsze błędy.

Tłumaczenie na KRZ

Zasady tłumaczenia wypowiedzi języka potocznego na formuły KRZ są następujące:

• znajdujemy w zdaniu główny spójnik (od tego zależy, jakiego typu będzie to formuła KRZ);

• analizujemy wypowiedź i znajdujemy w niej wszystkie zdania proste (nie zawierające negacji oraz nie łączone spójnikami logicznymi);

• każde zdanie proste zastępujemy zmienną zdaniową (Uwaga: jeśli zdanie powtarza się kilka razy w obrębie zdania złożonego, to na jego oznaczenie konsekwentnie używamy tej samej zmiennej zdaniowej);

• spójniki w zdaniu zastępujemy odpowiednimi spójnikami logicznymi.

Formuła, którą otrzymaliśmy, nazywa się schematem zdania.

Przykłady:

• Jeśli pójdziesz na grzyby, to nie znajdziesz ścieżki i zgubisz się w lesie.    |     p→(¬q∧r) 

(p - pójdziesz na grzyby; q - znajdziesz ścieżkę; r - zgubisz się w lesie)

• Jeśli pójdziesz na grzyby, to nie znajdziesz ścieżki i zgubisz się w lesie, a jeśli nie pójdziesz na grzyby, to nie zgubisz się. | (p→(¬q∧r)) ∧ (¬p→¬r)

• Wcale tak nie jest, że Beata marszczy czoło zawsze i tylko wtedy, gdy patrzy na nią Piotr.       |     ¬(p↔q)

(p - Beata marszczy czoło; q - Piotr patrzy na Beatę)

• Myślę, więc jestem, a skoro tak, to jestem obecna na ćwiczeniach.      |      (r→s)→q

(r - myślę; s - jestem, q - jestem obecna na ćwiczeniach)

Tłumaczenie z KRZ

Zasady tłumaczenia z KRZ na język potoczny są następujące:

• znajdujemy w formule główny spójnik (zawsze jest tylko jeden);

• musimy wiedzieć, jakie zdania z języka potocznego zostały oznaczone pojedynczymi zmiennymi;

• zmienne zastępujemy tymi zdaniami (zwracamy uwagę na to, że jeżeli zmienna powtarza się w formule, to musi także powtarzać się odpowiadające jej zdanie w wypowiedzi w języku naturalnym);

• spójniki logiczne zastępujemy odpowiednikami z języka naturalnego.

Przykład [p - Piotr się gniewa; q - jest burza za oknem; r - Bartek pije piwo]:

p→(q∧r)    |    Jeśli Piotr się gniewa, to jest burza za oknem, Bartek zaś pije piwo.

r↔p     |    Bartek pije piwo wyłącznie wtedy (i tylko wtedy), gdy jest burza za oknem.

¬ ((¬q∧¬r)→¬p)    |   Wcale tak nie jest, że jak nie ma burzy za oknem, a Bartek nie pije piwa, to Piotr się nie gniewa. 

Przykłady

Częste błędy

1. Mylenie kierunku implikacji ⏪ 

Częstym błędem jest mylenie kierunku implikacji, zazwyczaj dlatego, że podczas tłumaczenia na KRZ kierujemy się szykiem zdania zamiast ocenianiem, które zdanie warunkuje które. Implikacja ma postać (zdanie 1) → (zdanie 2) i oznacza zależność warunkową: zdanie 1 jest warunkiem (wystarczającym), by zaszło zdanie 2. W przypadku, kiedy zachodzi zdanie 1, możemy wywnioskować, że zachodzi również zdanie 2 (skoro zaszło 1, to koniecznie zachodzi 2). Możemy o zdaniu 2 myśleć, że jest ono następstwem zdania 1. A zatem (zdanie 1) → (zdanie 2) oznacza zależność: "w przypadku gdy będzie 1, jego następstwem będzie 2".

Przykład 

Będę miała czarne usta, jeśli zjem borówki. | (zjem borówki) → (będę miała czarne usta)

Dla wszystkich przykładów niżej schemat zdaniowy jest ten sam: p→(¬r∧q) 

• Reksio nie szczeka i Marek siedzi w słuchawkach, jeśli Ania ogląda film.

• Ania ogląda film, a więc Reksio nie szczeka, a Marek siedzi w słuchawkach.

• Jeśli Ania ogląda film, to Reksio nie szczeka, a Marek siedzi w słuchawkach.

• Reksio nie szczeka i Marek siedzi w słuchawkach, o ile Ania ogląda film.

📌 Warunek znajduje się w poprzedniku implikacji. Następstwo znajduje się w następniku implikacji.

Więcej o potocznym rozumieniu implikacji w tym filmiku (Youtube)

Zagraj w GRĘ NA IMPLIKACJĘ

Sprawdź na kalkulatorze swoją implikację

2. Rozpoczynanie formuł od spójników. Podwójne spójniki ani ani / albo albo / jeśli to 🍒 

Często podwójne spójniki (ani... ani..., albo... albo....) są mylnie przedstawiane w schemacie zdania poprzez dwa spójniki logiczne. Jest to błąd, ponieważ powstaje wtedy ciąg symboli, który nie jest poprawnym wyrażeniem KRZ (nie jest to formuła).

Przykład:

Ani posprzątałeś, ani wyrzuciłeś śmieci. | ¬p∧¬q  (NIE: ∧¬p∧¬q)

Albo napiszę list, albo wyślę smsa. | p∨q  (NIE: ∨p∨q) 

Często spójnik składający się z dwóch słów (jeśli ... to...) jest tłumaczony w schemacie zdania poprzez dwa spójniki logiczne. Jest to błąd, ponieważ powstaje wtedy ciąg symboli, który nie jest poprawnym wyrażeniem KRZ (nie jest to formuła).

Przykład:

Nieprawda, że jeśli kot roztłukł garnek, to dostanie śmietanę. | ¬(p→q) NIE: ¬→p→q

📌 Pamiętaj: formuły mogą rozpoczynać się od negacji ¬. ŻADNA formuła KRZ nie może rozpoczynać się od spójników ∨ ∧ → ↔ . Jeśli popełniasz ten błąd, to upewnij się, że twoja formuła jest generowana przez Generator formuł KRZ.

Przykład: Jeśli Ola je orzechy i pije czerwone wino, to nie ma czarnych ust . | (p∧s)→¬q NIE: →(p∧s)→¬q

3. Alternatywa / koniunkcja dwóch negacji 🎌 

Często alternatywa dwóch negacji jest zapisywana jako negacja alternatywy (tak, jakbyśmy wynosili znak negacji po za nawias). Jest to błąd, ponieważ alternatywa negacji ¬p∨¬q  nie jest równoważna negacji alternatywy ¬(p∨q) - formuły te mają różne warunki prawdziwości.

Podobnie częstym błędem jest zapisywanie koniunkcji dwóch negacji jako negacji koniunkcji (tak, jakbyśmy wynosili znak negacji po za nawias). Więcej na temat tego błędu znajdziesz w filmiku Youtube niżej.

📌 Pamętaj: (¬p∨¬q) TO NIE ¬(p∨q). Również (¬p∧¬q) TO NIE ¬(p∧q). 

Załóżmy, że masz w plecaku broń i alkohol, stoisz przed bramką wejściową do klubu i czytasz tabliczkę z następującym zakazem (porównaj sformułowanie dwóch zakazów):

• Nie wolno wejść do klubu z bronią albo nie wolno wejść do klubu z alkoholem. [Masz w tej sytuacji wybór: możesz coś zostawić na bramce (na przykład broń), natomiast z drugim czymś wejdziesz do klubu (na przykład z alkoholem). Ale w obu przypadkach nie da się wejść do klubu i z bronią, i z alkoholem] Dlatego ¬p∨¬q to to samo co ¬(p∧q) "nie: dwie rzeczy wzięte razem" (zwróć uwagę, że alternatywę odwróciliśmy na koniunkcję);

• Nie wolno wejść do klubu z bronią bądź z alkoholem. [nie wolno wejść ani z bronią, ani z alkoholem. Musisz na bramce zostawić wszystko] Dlatego ¬(p∨q) to to samo co ¬p∧¬q "żadne z tych rzeczy" (zwróć uwagę, że znów alternatywę odwróciliśmy na koniunkcję).

📌 Zauważ: w matematyce jest podobnie: 

 -(2x2), czyli minus 4, to nie to samo, co (-2x-2), czyli plus 4.

4. Zła negacja 👹 

Popatrz na formułę ¬(p↔¬r). Częstym błędem jest odczytywanie negacji z pominięciem nawiasów, na przykład jako "Tata nie liczy wydatków wtedy i tylko wtedy, gdy Reksio nie gryzie chodnika" (odczytałeś formułę ¬(p↔¬r) jako ¬p↔¬r). Nawiasy pokazują, że negacja dotyczy całej równoważności, całej formuły p↔¬r, a nie pojedynczej literki p. Czyli poprawne odczytanie formuły ¬(p↔¬r) to "Wcale nie jest prawdą, że tata liczy wydatki wtedy i tylko wtedy, gdy Reksio nie gryzie chodnika". Zgodzisz się, że to zupełnie co innego!

Często zamiast zanegowania całej formuły jest negowana część formuły (bądź odwrotnie). Jak poprzednio: by ustalić, co dokładnie jest negowane (jaki warunek), należy kierować się znaczeniem zdania.

Przykład
Nieprawda, że tata liczy wydatki, jeśli Puszek stłukł śmietanę, a Reksio gryzie chodnik. | ¬((p∧r)→s)  NIE: (p∧r)→¬s 

Zasada jest prosta: w przypadku implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważności negacja całości ma miejsce wtedy, gdy zwrot Nieprawda że (bądź Wcale tak nie jest, że / Nie jest tak, że) poprzedza spójnik implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważności. 

Przykład

Nieprawda, że zawsze i tylko wtedy gdy p to q zapisujemy ¬(p↔q) -- negacja dotyczy formuły w nawiasach, całego warunku, dlatego to ona jest głównym spójnikiem ¬(........): 

¬(p↔q)

• Nieprawda, że płaczę zawsze i tylko wtedy, gdy kuśtykam. Nieprawda że [(płaczę) zawsze i tylko wtedy gdy (kuśtykam)]

• Wcale tak nie jest, że palę wtedy (i wyłącznie wtedy), gdy kroję ser.  Wcale tak nie jest że [(palę) wtedy i tylko wtedy gdy (kroję ser)]

Zawsze i tylko wtedy, gdy nieprawda że p, to q zapisujemy ¬p↔q -- negacja dotyczy tylko formuły p, dlatego głównym spójnikiem jest równoważność (...)↔(...):

¬p↔q

• Zawsze (i tylko wtedy), gdy nie płaczę, to kuśtykam. [nie płaczę] zawsze (i tylko wtedy), gdy [kuśtykam].

• Nie palę wtedy (i wyłącznie wtedy), gdy kroję ser. [nie palę] wtedy (i wyłącznie wtedy), gdy [kroję ser].

Nieprawda, że jeśli nieprawda że p, to q zapisujemy ¬(¬p→q) -- niebieska negacja dotyczy formuły w nawiasach, czerwona negacja dotyczy tylko formuły p, ponieważ w wypowiedzi została poprzedzona zielonym spójnikiem jeśli:

¬(¬p→q)

• Wcale tak nie jest, że jeśli nie palę, to kuśtykam. Wcale tak nie jest [(nie palę)→(kuśtykam)].

• Nieprawda, że kroję ser, jeśli nie palę. Nieprawda, że [(nie palę)→(kroję ser)].

Zagraj w GRĘ NA NEGACJĘ

5. "KOMBO" ⛔ 

Cokolwiek z 1-4 łączone razem:

• najczęściej występuje: mylenie kierunku implikacji + negowanie części formuły zamiast całości

Nieprawda, że tata liczy wydatki, jeśli Puszek stłukł śmietanę, a Reksio gryzie chodnik. | ¬((p∧r)→s)  NIE: ¬s→(p∧r)

Zauważ: słówko "jeśli" wskazuje, że zdanie po nim oznacza warunek, a warunek musi znaleźć się przed strzałką implikacji; z kolei wyrażenie "nieprawda że" poprzedza słówko "jeśli", w związku z czym negacja  w tym przykładzie dotyczy całości (całego warunku).

6. "SUPER KOMBO" 🆘 

Wszystkie punkty 1-4 razem (najczęściej z brakiem nawiasów)

Nieprawda, że zmęczę się, jeśli albo pobiegam, albo porobię pompki. | ¬((p∨q)→r)  NIE: ¬r→∨p∨q 

Jeśli nie świeci słońce, to babcia robi na drutach albo nie pali fajki.  | ¬s→(r∨¬p)  NIE: →¬s∧r∨¬p

SUPER KOMBO pokazuje, że niestety nie załapałeś głównej idei i tłumaczysz na KRZ słowo po słowie (kierujesz się kolejnością słów (zamiast związkiem logicznym między zdaniami, który zależy wyłącznie od ich sensu), nie wychwytujesz, że spójnik w języku potocznym może składać się z dwóch słów (i jest to nadal jeden spójnik) oraz przegapiłeś ważną definicję budowy formuł (sensownych wyrażeń w KRZ) oraz Generator formuł KRZ (upewnij się, że twój zapis jest generowany przez kalkulatory 1, 2, 3). Być może pomocnym będzie myślenie, że KRZ to nie inny język naturalny (taki jak angielski czy francuski), tylko to sposób schematycznego zapisu zdań (w związku z czym de facto nie tłumaczymy, lecz zapisujemy zdania języka potocznego schematycznie).

Kalkulator implikacji

Testy

Spróbuj rozwiązać tę krzyżówkę: odpowiedziami w niej są formuły KRZ (nie zapominaj o nawiasach!). Legenda: p - Ania ogląda film; q - trwa mecz piłki nożnej; r - Marek siedzi w słuchawkach, s - szczeka pies sąsiadów. Na oznaczenie spójników przyjmij symbole ¬ ∨ ∧ → ↔ (do pisania możesz użyć tego narzędzia: TYPEIT bądź kopiować i wstawiać spójniki).

Spróbuj rozwiązać tę krzyżówkę (na implikację): odpowiedziami w niej są formuły KRZ (nie zapominaj o nawiasach!). Legenda: p - Ola je borówki; q - Ola ma czarne usta; r - Ola je orzechy; s - Ola pije czerwone wino. Na oznaczenie spójników przyjmij symbole ¬ ∨ ∧ → ↔ (do pisania możesz użyć tego narzędzia: TYPEIT bądź kopiować i wstawiać spójniki).

Zadanie domowe

Tutoriale z Youtube

LogiCola - szkoła logiki online

Interaktywny kurs logiki autorstwa Harry'ego Genslera. Jest to kurs za darmo ale po angielsku. LINK Do tej części kursu - zestaw ćwiczeń C (propositional translations). 

Uwaga: w Logicoli formuły są ujmowane w zewnętrzne nawiasy, a na oznaczenie spójników są używane następujące symbole:

• na spójnik koniunkcji: ·

• na spójnik alternatywy ∨ 

• na spójnik negacji: ~

• na spójnik implikacji: ⊃ 

• na spójnik równoważności: ≡ 

Informacja zwrotna