Mathematics

Mathematical methods in mathematical biology

数理生物学でよく見られる数理的手法

1. Deterministic method

• 分岐理論

• Singular equilibrium to multiple equilibria

[Reference]

• https://math-fun.net/20190712/2033/

• サイクル

• Limit cycle or chaos

• (Empirical) Chaos or stochastic fluctuation (e.g.. CCM)

• 固有値ベクトル・行列

  • ランダム行列の安定性（Robert May's complex community theory）

• Dynamical system

  • 中心多様体

    • 平衡点が線などの多次元構造上に並んでいる場合の局所安定性

[Reference]

• https://math-fun.net/20190710/1983/

• • 構造安定体 〜システムが似ているとは？〜

[Reference]

• https://math-fun.net/20190716/2100/

• • セパラトリクス

    • 数値解析 & シミュレーションを合わせた求め方

      • 不安定固定点 (x,y) の固有ベクトルの方向に、(x,y) からδだけ微小にずれた初期値 (x+δ,y+δ) をとり、シミュレーションすることで、吸い込み領域の境界線（セパラトリクス）を得る

• 動学的最適化問題

1. 変分法

• 状態の時間発展 y(t) （連続関数）を求める。制御のスイッチング（非連続制御）を表せない。

2. 最適制御理論 (ハミルトニアン)

• 非連続制御に対応

• 任意の終端時間 T に対応

3. 動的計画法

• そもそも正準方程式・ハミルトンヤコビベルマン方程式を満たす具体的な制御入力関数 𝑢(𝑡) やラグランジュの未定乗数 𝜆(𝑡) を求めるのは一般には難しい。そこで、様々なアルゴリズムで数値的に求める。

  • 勾配法

  • シューティング法（決め打ち）

  • 動的計画法

• 平均場近似

• ペア近似

• 基本対称式

  • 基本定理　参考: https://manabitimes.jp/math/1239

  • 3次方程式の全ての解が正の実根を持つ条件　参考: (i) https://mathclinic314.com/対称式についての論証【基本対称式の符号】【2007/

 (ii) https://mathlog.info/articles/1874

• • 三次，四次，ｎ次方程式の解と係数の関係とその証明　参考: https://manabitimes.jp/math/1051

[Reference]

• マレー数理生物学

2. Stochastistic method