Problems

No.6　固体地球＜震源推定＞（★★★☆☆）

問題

問1

観測点から震源までの距離をD(km)、初期微動継続時間をT(s)、Ｐ波の速度をVp(km/s)、Ｓ波の速度をVs(km/s)とおくとき、これらの要素の関係式として実際に成り立つものを次のア～オのうちから１つ選びなさい。

問2

以下の表に、とある地震の、3つの観測点A, B, CでのP波, S波到達時刻を示す。これらの値から、観測点A, B, Cと震源の距離（震源距離）Da, Db, Dcを求めよ。

ただし、以下の問題ではP波速度Vpを5.0(km/s)、S波速度Vsを3.0(km/s)とする。

問3

問2の地震で、震央の推定を行ったところ、C点から震央までの距離（震央距離）Xcが60kmであることが分かった。A, Bの震央距離Xa, Xbを求めよ。

ただし、√7=2.65を用いてよい。

解答・解説

問1

解答: エ

解説: 正解はエ。この式を変形すると

となり、初期微動継続時間から震源距離を求められる式、大森公式が導出されます。

今回は一般的に公式として覚えられている式の形とは異なる形で、正確な知識を問う問題を出題しました。

Step Up!

大森公式をP波の到達時刻、S波の到達時刻などを用いて導出・説明せよ。（解答例はページ最下部に掲載）

問2

解答: Da=4.5×10km, Db=6.0×10km, Dc=7.5×10km

解説: 大森公式より　D=kT

kは問1より

よって

なお、それぞれ45km, 60km, 75kmで問題ありません。ただ、高校地学では10の1乗であっても指数表記を行う場合があるため、今回はそれに合わせて解答を作成しました。

問3

解答: Xa=0km, Xb=4.0×10km

解説: 三平方の定理(斜辺)²=(底辺)²+(高さ)²を用いて回答を導くことができます。まずは図を使って解き方を整理していきましょう。

なお、以下では震源の深さをdとします。

当たり前といえば当たり前ですが、震源距離・震央距離・震源の深さ・震源・震央はこの図のような関係になっています。

つまり、これらの関係は三平方の定理より D²=X²+d²と表すことができます。

この問いではXcが与えられ、また問2でDcを求めてあるので、これを図に当てはめると、この図のようになります。

これをD²=X²+d²に当てはめて考えると、
Dc²=Xc²+d²
よって75²=60²+d²となります。

これをd²の式にすると

これを変形して

今求めたdと、問2で求めたDaを図に当てはめると、この図のようになります。

ただ、もうお分かりの通り、この次の計算はDa²=Xa²+d²
つまりXa²＝Da²-d²=45²-45²=0(km)

よってXa=0kmです

なんと観測点Aは震央にある観測点でした。

図に表すとd=45kmの1本の線になります。省略します。

観測点Bについても同様にして解いていきます。

Db²=Xb²+d²
つまりXb²＝Db²-d²=60²-45²=3600-2025=1575
よってXb=15√7

今回は√7の近似値が与えられているので、これを利用します。

Xb=15√7≒15×2.65=39.75≒4.0×10(km)

※有効数字に注意が必要です。
（掛け算の答えの有効数字は、計算で出てきた数字(測定値)の中で有効数字の桁が最も小さいものに合わせるので、今回は2桁となります。）

Step Up! 解答例

大森公式は初期微動継続時間（=P波とS波の伝わる時間の差）から震源距離を求められる公式です。

まず、初期微動継続時間TをP波・S波の到達時間から表します。TはT=(S波到達時刻)-(P波到達時刻)と表せます。S波., P波の到達時刻をそれぞれts, tpとすると

よって

これをD=の式に変形すると

このように大森公式を求めることができます。

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