［0256］モールの応力円の再構築（MSCR）による応力状態解析の数理的背景

MSCRは、複数方向で測定した垂直応力とせん断応力から、それらに共通する係数を最小二乗法で推定し、同一位置の応力状態を再構成する方法です。

推定した係数から、モールの応力円、主応力、主応力方向などを求めます。また、方向別の実測値と推定値との差から、再構成した応力状態と測定値との整合性を評価します。

■ 1．測定方向と応力の関係

同一位置の面内応力状態について、測定方向φに対応する垂直応力とせん断応力は、次式で表されます。

σ(φ) = Kcenter ＋ Kσ cos(2φ) ＋ Kτ sin(2φ)

τ(φ) = −Kσ sin(2φ) ＋ Kτ cos(2φ)

各係数は、φ＝0°、90°方向の応力と次の関係にあります。

Kcenter = {σ(0°) ＋ σ(90°)} / 2

Kσ = {σ(0°) − σ(90°)} / 2

Kτ = τ(0°)

Kcenterは面内の平均応力です。KσとKτは、応力の方向変化を表す係数です。

垂直応力とせん断応力の方向変化は、共通のKσ、Kτによって結び付けられています。MSCRでは、この関係を用いて多方向の実測値を統合します。

■ 2．180°対向平均による奇数次成分の相殺

面内応力に対応する成分は、測定方向φに対して180°周期です。

cos{2(φ＋180°)} = cos(2φ)

sin{2(φ＋180°)} = sin(2φ)

したがって、

σ(φ＋180°) = σ(φ)

τ(φ＋180°) = τ(φ)

となります。

一方、測定方向φに対するn次の方向変化には、次の関係があります。

cos{n(φ＋180°)} = (−1)ⁿ cos(nφ)

sin{n(φ＋180°)} = (−1)ⁿ sin(nφ)

このため、対向方向の平均では、奇数次成分は相殺され、零次および偶数次成分は残ります。

対向平均後の垂直応力：
σ̄(φ) = {σ測定(φ) ＋ σ測定(φ＋180°)} / 2

対向平均後のせん断応力：
τ̄(φ) = {τ測定(φ) ＋ τ測定(φ＋180°)} / 2

ここで、σ測定、τ測定は各方向の実測値です。

対向平均後に残った成分から、面内応力状態に対応する平均成分と二次の方向変化を推定します。

■ 3．共通係数を求める最小二乗法

対向平均後の測定データを、次のように表します。

測定方向：φᵢ

垂直応力：σ̄ᵢ

せん断応力：τ̄ᵢ

i = 1、2、…、m

mは対向平均後のデータ組数です。例えば、8方向を対向平均した場合は4組になります。

各方向の推定値は、次式です。

σ̂ᵢ = Kcenter ＋ Kσ cos(2φᵢ) ＋ Kτ sin(2φᵢ)

τ̂ᵢ = −Kσ sin(2φᵢ) ＋ Kτ cos(2φᵢ)

実測値と推定値との差を、方向別残差として定義します。

rσᵢ = σ̄ᵢ − σ̂ᵢ

rτᵢ = τ̄ᵢ − τ̂ᵢ

両成分を等しい重みで扱う場合、最小化する量Jは次式です。

J = Σᵢ₌₁ᵐ {rσᵢ² ＋ rτᵢ²}

すなわち、全方向の垂直応力とせん断応力について、実測値と推定値との差の二乗和が最小になるKcenter、Kσ、Kτを求めます。

測定方向φᵢは既知なので、推定する三つの係数に対して線形の最小二乗問題になります。

この方法は、測定点から円までの最短距離だけを最小化する円フィッティングとは異なります。測定方向φと、垂直応力・せん断応力の位相関係を含めて推定します。

■ 4．等間隔測定における係数の算出

対向平均後の測定方向が半周180°に等間隔で配置され、次の条件を満たす場合を考えます。

Σᵢ cos(2φᵢ) = 0

Σᵢ sin(2φᵢ) = 0

例えば、0°、45°、90°、135°の4組は、この条件を満たします。

前節の等重みの最小二乗法では、共通係数は次式で求められます。

Kcenter = (1/m) Σᵢ σ̄ᵢ

Kσ = (1/m) Σᵢ {σ̄ᵢ cos(2φᵢ) − τ̄ᵢ sin(2φᵢ)}

Kτ = (1/m) Σᵢ {σ̄ᵢ sin(2φᵢ) ＋ τ̄ᵢ cos(2φᵢ)}

これらの式は、垂直応力とせん断応力の両方を用いて、共通する方向変化を抽出することを示しています。

方向が不等間隔の場合や、測定値ごとに重みを変える場合は、その配置・重みに対応する最小二乗計算を行います。

■ 5．モールの応力円の再構成

推定した応力について、平均応力を差し引くと、

σ̂(φ) − Kcenter = Kσ cos(2φ) ＋ Kτ sin(2φ)

τ̂(φ) = −Kσ sin(2φ) ＋ Kτ cos(2φ)

です。

両式を二乗して加えると、交差項が相殺され、

{σ̂(φ) − Kcenter}² ＋ τ̂(φ)² = Kσ² ＋ Kτ²

となります。

ここで、

C = Kcenter

R = √(Kσ² ＋ Kτ²)

と置くと、

{σ̂(φ) − C}² ＋ τ̂(φ)² = R²

となります。

したがって、共通係数から求めた方向別の推定値は、中心(C, 0)、半径Rのモール円上に配置されます。

MSCRでは、方向角付きの測定値から共通係数を求め、その結果としてモール円を再構成します。

■ 6．主応力と主応力方向

面内の最大主応力σ₁、最小主応力σ₂は、次式で求めます。

σ₁ = C ＋ R

σ₂ = C − R

主応力差：
σ₁ − σ₂ = 2R

面内最大せん断応力：
τmax = R

面内平均応力：
C = (σ₁ ＋ σ₂) / 2

最大主応力方向βは、第1節の符号規約では次式です。

β = atan2(Kτ, Kσ) / 2

atan2は、二つの係数の符号から象限も含めて角度を求める関数です。計算結果がラジアンの場合は、度に換算して表示します。

βは測定方向φ＝0°からの角度で、180°周期です。最小主応力方向は、それと直交する方向です。

このβを用いると、方向別応力は次の形にも表せます。

σ̂(φ) = C ＋ R cos{2(φ − β)}

τ̂(φ) = −R sin{2(φ − β)}

測定方向の角度変化φに対し、モール円上の角度変化は2φとなります。

R＝0の場合は面内の垂直応力が全方向で等しく、主応力方向は一意に定まりません。

■ 7．方向別残差による整合性の評価

各方向の実測点と、その方向の推定点との差の大きさを、次式で表します。

eᵢ = √(rσᵢ² ＋ rτᵢ²)

多方向の残差をまとめる指標として、次のRMS残差を定義できます。

ERMS = √{(1/m) Σᵢ (rσᵢ² ＋ rτᵢ²)}

ERMSの単位は応力と同じです。

この指標は、一つの応力状態から予測される方向別応力に対し、実測値がどの程度ずれているかを表します。

また、rσᵢ、rτᵢを測定方向ごとに確認することで、特定方向のずれや、方向に沿った残差の変化を評価できます。

ここでの残差は、測定点から円までの最短距離ではありません。測定点が円上にあっても、その方向に対応する推定位置と異なれば残差が生じます。

残差の小ささは、測定値と再構成した応力状態との整合性を示します。応力値の絶対的な正確さとは区別して扱います。

■ 8．誤差低減の三つの作用

【対向平均による相殺】

180°反転で符号が変わる成分は、対向平均によって相殺されます。

【方向依存誤差の影響低減】

複数方向の垂直応力とせん断応力から共通係数を求めることで、特定方向に偏った誤差の影響を抑えます。

影響の大きさは、第4節の係数算出式に示すように、誤差が生じる方向とcos(2φ)、sin(2φ)との関係によって変わります。

【独立したランダム誤差の統計的低減】

同じ大きさの独立したランダム誤差を持つN個の測定値を単純平均する場合、平均値の標準偏差は一回の測定の1/√Nになります。

ただし、MSCRで求める主応力や主応力方向は、複数の係数から算出される量です。それらの誤差低減率は、求める量と応力状態によって異なります。

■ 9．3軸応力場への対応と限界

cosα法による方向別の測定値には、面内の応力成分に加えて、3軸のせん断応力成分τxz、τyzの影響が含まれる場合があります。

MSCRでは、同一位置について測定方向φとφ＋180°で測定し、垂直応力とせん断応力をそれぞれ平均します。

その寄与が180°の方向反転によって等しい大きさで逆符号となる場合、対向平均によって相殺されます。

例えば、0°と180°の測定値に含まれるτxzの寄与が、この反転関係を満たす場合、両者の平均によってその影響が相殺されます。

この処理の目的は、3軸のせん断応力の影響を低減して、面内の応力状態を再構成することです。三軸応力の全成分を求めることとは区別します。

また、対向方向の測定値の差や、測定点群と再構成した応力状態との不整合は、測定値に含まれる方向依存成分を検討する手掛かりになります。ただし、その不整合だけから原因を3軸応力に特定することはできません。

■ 10．なぜ「モールの応力円リバース」が意味を持つのか

【理由1：垂直応力とせん断応力を組み合わせて応力状態を再構成する】

cosα法では、一回の測定から、その測定方向に対応する垂直応力σとせん断応力τの組が得られます。

MSCRは、複数方向で取得した両者を用い、測定方向φに対する変化を共通係数で表します。その係数を最小二乗法で推定することで、主応力、主応力方向、平均応力、面内最大せん断応力を求めます。

これにより、指定方向の応力値だけでは把握しにくい、応力の大きさと方向を含む応力状態を評価できます。

【理由2：複数方向の測定によって、誤差の影響低減と整合性の検証を行う】

応力状態を計算できることと、その計算に用いた測定値の整合性を検証できることは異なります。

MSCRでは、複数方向のデータを用いることで、次の評価が可能になります。

・対向平均により、180°反転で符号が変わる成分を相殺する。

・多方向のデータを統合し、特定方向に偏った誤差の影響を抑える。

・独立したランダム誤差を統計的に低減する。

・方向別の残差から、実測値と再構成した応力状態との整合性を確認する。

MSCRの意義は、応力状態を求めるとともに、その応力状態が多方向の実測値をどの程度説明できるかを評価できることにあります。

■ 11．応力状態と測定結果の可視化・比較

MSCRでは、多方向の実測値をσ–τ平面上に配置した三島の測定多角形（MSP）と、再構成したモールの応力円を併せて表示します。

これにより、次の点を確認できます。

・モール円の中心・半径・位相による、平均応力、主応力差、主応力方向。

・測定方向ごとの実測値と推定値の差による、整合性と方向依存性。

・加工・熱処理・ピーニング・繰返し負荷などの前後における、応力状態の変化。

応力値の増減だけでなく、主応力方向の変化や測定値の整合性も含めて比較することで、測定条件の再検討や、追加測定が必要な位置・方向の選定につなげられます。

基礎的なところ

■ 1. 応力とは何か？スカラー vs テンソル

応力は**スカラー（大きさのみ）**ではなく、方向と面を持つ量です。

• スカラー：例）温度、密度など（方向を持たない）
  
  

• ベクトル：例）力、速度（向きと大きさ）
  
  

• テンソル（2階）：面に対する力の分布（＝応力）