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[0255]モールの応力円リバース(MSCR)の技術的仕組みとは？｜cosα法とせん断応力による主応力推定の原理

cosα法のせん断応力測定機能と統合することで，モールの応力円は可視化ツールから応力状態を推定する解析ツールへと拡張された。

モールの応力円リバースは、複数方向から実測した垂直応力σとせん断応力τを用いて主応力を推定する特許技術（特許第7513234号）です。本ページでは、cosα法との相性の良さ、多方向測定による誤差相殺、円フィッティングによる精度向上など、この手法の“技術的な仕組み”を中級者向けに解説します。

［0255］MSCRが応力状態を再構成する技術的な仕組み

MSCR（モールの応力円リバース）は、cosα法によって複数方向で測定した垂直応力とせん断応力から、主応力を含む応力状態を再構成する方法です。

特許第7513234号

MSCRによる応力状態再構成の流れ

cosα法で垂直応力とせん断応力を測定する
測定方向φを変えて多方向を測定する
180°対向方向の測定値を平均する
測定結果をσ–τ平面上に配置する
応力状態に対応する二次成分を抽出する
モールの応力円を推定する
主応力、主応力方向などを算出する
測定点群とモール円との整合性を評価する

1．cosα法で垂直応力とせん断応力を測定する

cosα法では、二次元検出器によってデバイ環を取得します。

デバイ環上の回折角変化から、指定した測定方向φにおける、

垂直応力 σϕ
せん断応力 τϕ

を求めます。

一回の測定によって、一つの測定方向に対応する垂直応力とせん断応力の組、

(σϕ,τϕ)

が得られます。

2．測定方向を変えて多方向を測定する

同じ測定位置について、試料表面内の測定方向φを変えて測定します。

測定方向の例は、

0∘, 45∘, 90∘, 135∘

または、

0∘, 45∘, 90∘, 135∘, 180∘, 225∘, 270∘, 315∘

です。

各測定方向から、

(σ0,τ0), (σ45,τ45), (σ90,τ90), …

という複数の応力データが得られます。

3．180°対向方向の測定値を平均する

平面応力状態では、測定方向φと、その対向方向φ＋180°は釣合から同じ垂直応力、せん断応力となります。

したがって、

σϕ+180∘=σϕ τϕ+180∘=τϕ

となります。

MSCRでは、対向する二つの測定値を平均します。

σˉϕ=average(σϕ,σ(ϕ+180))

τˉϕ=average(τϕ,τ(ϕ+180))

180°の方向反転によって符号が変わる奇数次成分は、この平均処理によって相殺または低減されます。

180°の方向反転によって符号が変わる三軸せん断応力成分 τxz、τyz も対向平均によって相殺できます。

4．測定結果をσ–τ平面上に配置する

対向平均後の各測定値を、横軸を垂直応力σ、縦軸をせん断応力τとするσ–τ平面上に配置します。

各測定方向φは、一つの測定点、

(σˉϕ,τˉϕ)

として表されます。

複数方向の測定点を測定方向の順に結ぶと、多角形が形成されます。

この測定点群によって形成される多角形を、**三島の測定多角形（MSP）**と呼びます。

5．応力状態に対応する二次成分を抽出する

平面応力状態における方向別の垂直応力とせん断応力は、次式で表されます。

σ(ϕ)=Kcenter+Kσcos⁡2ϕ+Kτsin⁡2ϕ

τ(ϕ)=−Kσsin⁡2ϕ+Kτcos⁡2ϕ

ここで、

Kcenter：モール円の中心
Kσ：i成分の係数
Kτ：sin⁡2ϕ成分の係数

です。

応力状態は、測定方向φに対して180°周期で変化します。そのため、応力状態に対応する信号は、

cos⁡2ϕ,sin⁡2ϕ

を基底とする二次成分として表されます。

MSCRでは、多方向の測定結果から、この二次成分の共通係数を推定します。

6．モールの応力円を推定する

係数 Kσと Kτ から、モール円の半径 R を求めます。

R=sqrt(Kσ^2+Kτ^2)

モール円の中心は、

C=KcenterC

です。

したがって、推定されるモールの応力円は、

(σ−C)2^+τ^2

と表されます。

実測値には測定誤差や応力以外の成分が含まれるため、測定点が完全な円上に並ぶとは限りません。

MSCRでは、複数方向の測定結果に対して共通する Kcenter、Kσ、Kτを最小二乗法で抽出します。

7．主応力と主応力方向を求める

モール円の中心 C と半径 R から、最大主応力と最小主応力を求めます。

σ1=C+R

σ2=C−R

主応力差は、

σ1−σ2=2R

最大せん断応力は、

τmax⁡=R

です。

角度φに対する応力の変化は、モール円上では角度2φの変化として表されます。

8．測定点群とモール円との整合性を評価する

理想的な平面応力状態では、各測定方向の垂直応力とせん断応力は、同一のモール円上に配置されます。

実測されたMSPと、推定されたモール円を比較することで、

測定点が円に沿っているか
各測定方向の位相関係が保たれているか
特定方向の測定点だけが外れていないか
対向する測定結果が一致しているか
応力状態に対応しない方向依存成分が含まれていないか

を評価できます。

測定点と推定円との距離は、各測定方向の残差として表せます。

残差が小さい場合、測定点群と推定された応力状態との整合性が高いことを示します。

cosα法とMSCRの関係

この計算方向の反転が、「モールの応力円リバース」の名称の由来です。

MSCRによって得られる値

最大主応力 σ1
最小主応力 σ2
主応力差 σ1−σ2
最大せん断応力 τmax
平均応力 C
任意方向の垂直応力
任意方向のせん断応力
測定点とモール円との残差

MSCRの再構成原理

MSCRにおける応力状態の再構成は、次の三つの処理で構成されます。

1．対向平均

average(ϕ,ϕ+180)

の測定値を平均し、方向反転によって符号が変わる成分を相殺または低減します。

2．二次成分の抽出

cos⁡2ϕ,sin⁡2ϕ

に対する共通係数を、多方向の測定結果から推定します。

3．幾何学的再構成

得られた中心、半径および位相から、モールの応力円と主応力状態を再構成します。

まとめ

cosα法によって、各測定方向の垂直応力とせん断応力を取得します。

MSCRでは、複数方向の測定結果に対して180°対向平均を行い、測定方向φに対する二次成分を抽出します。

その係数からモール円の中心、半径および位相を求め、主応力、主応力方向、主応力差および最大せん断応力を算出します。

測定点群と推定されたモール円との整合性から、測定結果の妥当性も評価できます。