[0239] 2次元・全方向・モールの応力円で見る応力変化

立体的または、複雑な形状の部品の応力変化は、従来の1方向測定では補足できない場合があります。

従来法は、対象が単軸の応力場で外部応力がないか、外部応力が単軸方向の応力の場合のみ有効

適用範囲

溶接部応力 事例

疲労試験における応力変化

回転と緩和

［0239］2次元・全方向・モールの応力円で見る応力変化

加工、熱処理、ピーニング、繰返し負荷などによって、残留応力は大きさだけでなく、主応力方向も変化します。

一方向の測定値は、その方向に対応する応力成分です。その値だけでは、主応力の大きさが変わったのか、主応力方向が変わったのかを区別できない場合があります。

モールの応力円リバース（MSCR）は、多方向の垂直応力とせん断応力から面内の応力状態を再構成し、その変化を大きさと方向の両面から評価する方法です。

■ 1．一方向の応力変化と、応力状態の変化

ある方向の垂直応力は、次式で表されます。

σ(φ) = C ＋ R cos{2(φ − β)}

C：面内平均応力

R：主応力差の半分

β：最大主応力方向

φ：測定方向

この式から、一方向の測定値は、平均応力C、主応力差に対応するR、主応力方向βのすべてに影響されることが分かります。

したがって、一方向の応力値が低下しても、主応力そのものが緩和したとは限りません。主応力方向が変化したために、その方向の測定値が低下する場合もあります。

逆に、一方向の測定値がほとんど変わらなくても、主応力や主応力方向が変化している場合があります。

■ 2．MSCRによる応力状態の再構成

cosα法で、同じ位置の複数方向について垂直応力とせん断応力を取得します。

180°対向方向の測定値を平均し、方向反転で符号が変わる成分を相殺します。

その後、測定方向φを用いて、次式の共通係数を最小二乗法で推定します。

σ̂(φ) = Kcenter ＋ Kσ cos(2φ) ＋ Kτ sin(2φ)

τ̂(φ) = −Kσ sin(2φ) ＋ Kτ cos(2φ)

推定した係数から、モール円の中心、半径、主応力方向を求めます。

C = Kcenter

R = √(Kσ² ＋ Kτ²)

β = atan2(Kτ, Kσ) / 2

加工前後や疲労段階ごとに同じ解析を行うことで、応力状態の変化を比較します。

■ 3．モールの応力円の中心から分かること

モール円の中心Cは、面内の二つの主応力の平均です。

C = (σ₁ ＋ σ₂) / 2

円の中心が右へ移動すると、面内平均応力が引張側へ変化したことを示します。

円の中心が左へ移動すると、面内平均応力が圧縮側へ変化したことを示します。

ここでいう平均応力は、同一状態における面内主応力の平均です。繰返し荷重の時間的な平均応力とは区別します。

■ 4．モールの応力円の半径から分かること

モール円の半径Rは、主応力差の半分であり、面内最大せん断応力に等しくなります。

R = (σ₁ − σ₂) / 2

τmax = R

半径が大きくなると、二つの主応力の差が大きくなります。

半径が小さくなると、二つの主応力が互いに近い値になります。

半径の縮小だけで、応力全体がゼロへ近づいたとは判断できません。中心の位置と、左右端の主応力も併せて確認します。

例えば、円が圧縮側にあるまま半径が小さくなる場合は、二つの主応力が近い圧縮値へ変化している可能性があります。

■ 5．円の左右端から主応力の変化を読む

モール円の右端が面内最大主応力σ₁、左端が面内最小主応力σ₂です。

σ₁ = C ＋ R

σ₂ = C − R

引張応力を正、圧縮応力を負として、加工前後の左右端を比較します。

・引張の主応力がゼロへ近づく：引張応力の緩和。

・圧縮の主応力がゼロへ近づく：圧縮応力の緩和。

・主応力がより負側へ変化する：圧縮応力の増加。

・主応力がより正側へ変化する：引張側への変化。

円の移動と半径の変化を併せて読むことで、どちらの主応力がどのように変化したかを確認できます。

■ 6．主応力方向の変化を読む

主応力の大きさが同じでも、主応力方向が変わると、指定方向の垂直応力とせん断応力は変化します。

この変化を確認するには、モール円に測定方向が分かる点を表示し、主応力方向βも併記します。

モール円の輪郭だけでは、主応力方向は分かりません。同じ中心と半径でも、主応力方向が異なる応力状態が存在するためです。

同じ測定方向φの推定点は、次式で表されます。

σ̂(φ) = C ＋ R cos{2(φ − β)}

τ̂(φ) = −R sin{2(φ − β)}

実際の主応力方向がΔβ変化すると、この符号規約では、固定した測定方向の推定点の円周上の角度は−2Δβ変化します。

主応力方向は180°周期で扱います。また、二つの主応力がほぼ等しい場合は、方向が定まりにくくなるため、主応力差と併せて評価します。

■ 7．応力緩和と主応力方向の変化を分けて評価する

加工前後や疲労段階の比較では、次の項目を分けて確認します。

【主応力の大きさの変化】

σ₁、σ₂を比較し、引張・圧縮の各主応力がどの程度変化したかを確認します。

【面内平均応力の変化】

中心Cを比較し、応力状態全体が引張側・圧縮側のどちらへ変化したかを確認します。

【主応力差の変化】

半径Rを比較し、二つの主応力の差と面内最大せん断応力の変化を確認します。

【主応力方向の変化】

βを比較し、応力の主方向がどの程度変化したかを確認します。

これにより、一方向の測定値の変化を、主応力の大きさの変化と方向の変化に分けて解釈できます。

■ 8．溶接部の応力状態を比較する

溶接部では、溶接線方向と直交方向だけでなく、主応力方向を含めた評価が重要になります。

MSCRでは、各測定位置の応力状態を再構成し、次の点を比較します。

・溶接線、止端、熱影響部、母材の位置ごとの主応力。

・溶接線に対する主応力方向。

・ピーニングや熱処理の前後における主応力と方向の変化。

・位置ごとの主応力差と面内最大せん断応力。

・実測値と再構成した応力状態との整合性。

複数位置の結果を並べることで、応力の空間分布と、位置による主応力方向の違いを確認できます。

■ 9．疲労試験における応力変化を比較する

疲労試験では、試験前と各疲労段階について、同じ位置・方向に対応させて測定します。

各段階のモール円、方向付き測定点、主応力方向を重ねて比較することで、次の変化を確認します。

・引張または圧縮の主応力の緩和。

・主応力差の増減。

・荷重方向に対する主応力方向の変化。

・応力状態の変化に伴う方向別測定値の変化。

・測定点群と推定値との整合性の変化。

疲労に伴って主応力方向が変わる場合、一方向の応力値だけでは、緩和の程度を十分に把握できないことがあります。

主応力の大きさと方向を併せて追跡することで、疲労段階ごとの応力状態の変化を整理できます。

■ 10．実測点と推定値を併せて表示する

多方向の測定点をσ–τ平面上に配置し、方向順に結んだものが、三島の測定多角形（MSP）です。

MSPと再構成したモール円を併せて表示し、さらに各方向の実測値と推定値との差を確認します。

垂直応力の残差：
rσ(φ) = σ̄(φ) − σ̂(φ)

せん断応力の残差：
rτ(φ) = τ̄(φ) − τ̂(φ)

これにより、応力状態の変化と同時に、測定値の整合性が変化していないかを確認できます。

比較する際は、測定位置、方向、照射径、入射角、表面状態などの条件も対応させます。

■ 11．応力変化を表示する際の基本項目

加工前後や疲労段階の比較では、次の情報をまとめて表示します。

・測定位置と測定条件。

・面内最大主応力σ₁と最小主応力σ₂。

・主応力方向β。

・面内平均応力C。

・主応力差2Rと面内最大せん断応力R。

・方向付きの実測点・推定点とモール円。

・方向別残差。

MSCRによって、指定方向の応力値の変化に加え、面内の応力状態がどのように変化したかを評価できます。

■ 関連ページ

［0233］MSCR―測定から解析例まで

［0255］MSCRの技術的な仕組み

［0256］MSCRによる応力状態解析の数理的背景

［0245］MSCR技術体系・総括