数学は、掛け足す分ける丸くする、それができなきゃ転写する
数学は、因果じゃないよ、異同だよ
from L. Euler to D. Hilbert, & paying homage to Martin Eichler
テキスト 小高い丘から見晴らす数学の街 ―π, i, e, σ の物語―
日程
1 はじめに 2 数のフィールド 3 数直線上の演算 4 三角比 5 複素数平面
6 実数平面 7 関数 8 方程式 9 微分 10 指数と対数 11 ネイピア数
12 データ分析 13 確率的な現象 14 繰り返し試行と情報量 15 まとめ
Googleクラスルーム内の指示書にしたがって、初回のオンデマンド授業の受講をお願いします。
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R言語のインストールは、こちらからお願いします。
R言語のセットアップのしかたはこちらをご覧ください。
https://www.tku.ac.jp/iss/guide/classroom/soft/rrstudio-desktop.html
https://syunsuke.github.io/r_install_guide_for_beginners/03_installation_of_R.html
https://www.youtube.com/watch?v=9rVpTYfIIoE
参考資料：日経ビジネス, 統計言語 「R」の神はなぜ無償で貢献したのか
https://business.nikkei.com/atcl/report/16/122700258/010900004/
参考ブログ：数のひろがり
https://easy-suugaku.blogspot.com/2020/04/blog-post_2.html
R言語で視覚化
AIに聞いてみよう！
1回だけでなく、5回、10回とことばのキャッチボールをして、さまざまな角度から対話
をして理解を深めましょう。
・加法単位元と乗法単位元について教えてください。
・√2は有理数ではないと聞いたのですが、本当ですか？
・有理数と無理数、どちらが多いですか？ 代数的無理数と超越数とはなんですか？
・無理数を近似するディオファントス近似とは何ですか？ 黄金比、代数的無理数、
リュービル数、πやeなどを有理数との「近さ」で特徴づけてください。
・同値類、商集合、代表元について教えてください。
・剰余類について教えてください。
参考ブログ：数直線で考える線型代数
https://easy-suugaku.blogspot.com/2025/01/blog-post.html
R言語で視覚化
高松瑞代『応用がみえる線形代数』岩波書店, 2025年, pp.31-32を参照しました。
AIに聞いてみよう！
・数学のベクトルの語源について教えてください。
・「引き算は加法逆元を足すこと」「割り算は乗法逆元を掛けること」について教えてください。
・スマホのスクロールや拡大縮小の操作をベクトルの演算で表現できますか？
・×(-1)が幾何ベクトルを反時計回りに180度回転させる操作である理由を教えてください。
参考ブログ：cosは関係を支配する
https://easy-suugaku.blogspot.com/2025/02/cos.html
R言語で視覚化
サインとコサインの関数
https://www.desmos.com/calculator/tkzulxamzk
タンジェントの関数
https://www.desmos.com/calculator/lpfpo3iadv
AIに聞いてみよう！
・折り紙でのっぽの三角定規（30度・60度・90度）を作る方法を教えてください。
・図形の合同と相似の違いについて教えてください。
・有理化とはなんですか？ その手順も教えてください。
・コサイン・サインと正射影（影）の関係について教えてください。
オイラーの公式をビジュアライズ
https://www.youtube.com/shorts/ZzOR9-dzUtU
R言語で視覚化
神保道夫『複素関数入門』現代数学への入門, 新装版, 岩波書店, 2025年, p.4を参照しました。
AIに聞いてみよう！
・複素数平面の虚軸が実軸と直角に交わるのはなぜですか？
・ラジアン（円周の道のり）で角度を表せるのはなぜですか？
・複素数平面上の座標を、x+iyという足し算で表せる理由を教えてください。
・オイラーの公式（e^{iπ}=cosθ+i sinθ）が何に応用されているのか教えてください。
・オイラーの等式（e^{iπ}+1=0）の素晴らしさについて教えてください。
参考動画：3blue1brown, Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra
https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs
R言語で視覚化
AIに聞いてみよう！
・実数平面の座標は、複素数平面の座標のように足し算（x+y）で表現できないのはなぜですか？
・30°の回転を表す回転行列について教えてください。
・30°の回転行列に60°の回転行列を掛けると90°の回転行列になるのはなぜですか？
・回転行列を固有値分解すると虚数が出てくるのはなぜですか？
・解析的な表現（e^{iθ}）と代数的な表現（回転行列）が綺麗に対応することについて教えてください。
第1部のまとめとして…
tanθと1/cosθ（=secθ：セカント）との比較（Desmos）
Desmosで視覚化（1次関数）
https://www.desmos.com/calculator/flwakprnxn
Desmosで視覚化（2次関数の割線）
https://www.desmos.com/calculator/zn5aov89m6
AIに聞いてみよう！
・数式の項とはなんでしょうか。掛け算や割り算を項の区切りにしないのはなぜですか？
・多項式と級数の違いを教えてください。また、級数で関数を表現できると聞きましたが本当ですか？
・関数の割線とはなんでしょうか。割線は何を見るためのものでしょうか。微分と関係ありますか？
Desmosで視覚化（1次方程式）
https://www.desmos.com/calculator/gvmvk8j1n6
Desmosで視覚化（2次方程式）
https://www.desmos.com/calculator/aqslm3oypp
補論をR言語で視覚化
AIに聞いてみよう！
・関数と方程式の違いについて教えてください。
・判別式で2次方程式の解の個数を判定する方法を教えてください。
・2次方程式について、解と係数の関係と解の公式にどのような関係がありますか？
・2次方程式x^2+4x+5の解が複素数になることについて教えてください。また、この
2次方程式を関数に見立てたときに現れる鞍点とはなんでしょうか、教えてください。
・コーシー＝リーマンの方程式と複素関数の微分可能性の関係について教えてください。
・有界な整関数は定数関数だけであるというリウヴィルの定理について教えてください。
・n次の代数方程式の解は重解を含めてn個あるという代数学の基本定理をルーシェの定理
を用いて示してください。
R言語で視覚化
2次関数の微分（接戦の傾き）を3次元のナブラと直交ベクトルで捉える（Advanced）
Desmosで視覚化（割線の極限）
座標平面上で（1, 2)と（t, t^2-2x+3）の2点を通る直線はy=(t-1)x-t+3
https://www.desmos.com/calculator/nhax4xncwg
Desmosで視覚化（色々な点での接線：f(x)=x^2）
接線の方程式はy=2tx-t^2
https://www.desmos.com/calculator/bdhvgfbjxz?lang=ja
Desmosで視覚化（色々な点での接線：f(x)=x^3）
接線の方程式はy=3t^2-2t^3
https://www.desmos.com/calculator/hihe9hfmef
AIに聞いてみよう！
・1次関数の割線はグラフの傾きを測れるのに、2次関数の割線はグラフの測るのに
十分でないのはなぜですか？
・微分の定義式の分母にあるhを限りなく0に近づけると、分母が0になり計算不能に
なりませんか？ 極限として微分の値が得られるのはなぜですか？
・多項式の微分は、項に分けて、それぞれを微分して、微分した結果（導関数）を
足し合わせるだけでよいと聞きました。微分の線型性について教えてください。
・2次関数の最大値を求める問題の検算をするとき、平方完成が使えると聞きました。
2次関数f(x)=-x^2+4x+6を例に説明してください。
・2次関数の導関数を0と置くと極値（最大値または最小値）が得られますが、3次関数
f(x)=x^3では、導関数を0と置いて得られるx=0は極値でないと聞きました。3次以上の
関数の極値を見つける方法を教えてください。（へシアンを使ってかまいません）
国立天文台, 月までの距離
https://www.nao.ac.jp/astro/sky/2026/05-topics02.html
R言語で視覚化
Desmosで視覚化
AIに聞いてみよう！
・折り紙を42回折ると月まで届くと言われます。確かに計算してみるとそうなのですが
（0.1mm×2^(42)）、私たち人間がこの増え方を想像し難いのはなぜでしょうか。人間の
数に対する認知のしかたにどのような限界があるのでしょうか。
・対数関数はなぜ整数以外の値も取れるのでしょうか。「対数の底を何乗すれば対数の真数
になるのか」という問いかけの答えですので、整数しか取れないのではないですか？
・階乗（！）は、いつ頃誰が使い始めましたか。また、なぜビックリマークなのですか？
・2次関数、指数関数、階乗のうち最も勢いよく増えるのはどれですか。理由も教えてください。
・階乗f(x)=x!と2重指数g(x)=2^(a^x)の増え方を比べてみたときに、2重指数の増え方が勝る
条件（aの値の範囲）を教えてください。
・周波数の対数とピアノの鍵盤との関係を教えてください。
・とんでもない勢いで増える階乗より、遥かに勢いよく増えるアッカーマン関数について教えて
ください。また、アッカーマン関数とコンピュータの計算限界の関係も教えてください。
Desmosで視覚化
テイラー展開で指数関数を近似
R言語で視覚化
参考動画：3blue1brown, e^(iπ) in 3.14 minutes, using dynamics | DE5
https://www.youtube.com/watch?v=v0YEaeIClKY
参考動画：3blue1brown, Taylor series | Chapter 11, Essence of calculus
https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4
AIに聞いてみよう！
・ネイピア数を底とする指数関数は、微分しても積分しても関数の形が変わらないと
聞きました。なぜでしょうか。
・ネイピア数を底とする指数関数をテイラー展開した級数で、微分しても関数の形が
変わらないことを説明してください。
・ネイピア数を底とする指数関数をテイラー展開した式は、xの代わりにix（複素数）を
代入しても成り立つのはなぜですか。解析接続、一致の定理についても教えてください。
・「空間をバナッハ空間からヒルベルト空間へ限定する利点は、拡張の一意性を獲得する
ことにある（ハーン＝バナッハの定理からリースの表現定理へ）」について教えてください。
・もしネイピア数eがなければ、解析学はどうなってしまうのでしょうか。できなくなって
しまうことを教えてください。そして、どんな科学技術が世の中から消えてしまうのでしょうか、
教えてください。（どれくらい生活が不便になるか、深掘りして聞いてみましょう。）
訂正
p.138の図表11-10（参考）
下位48位、47位、46位の生徒番号が誤っておりました。正くは
48位の生徒番号は10、47位の生徒番号は50、46位の生徒番号は33です。
お詫びして訂正いたします。
R言語による視覚化
上の３つのコードに使う分析用データは以下にあります。各自ダウンロードして、パソコンの
デスクトップに保存しておきましょう。コードを実行すると、データファイルの入力を指示され
ますので、ファイルをドラッグアンドドローで指定するとグラフを描くことができます。授業内
でも説明します。
AIに聞いてみよう！
・統計学の偏差とはなんですか？ 偏差の合計が0になる値が平均とはどういうことでしょうか？
・テストの結果の分散を計算したら100点を超えてしまいました。これはどういうことでしょうか？
テストの点は0点から100点までの間なのに、分散の値が100点を超えるのはおかしくないですか。
・共分散と相関係数はどちらが使いやすいですか。また、相関係数で捉えられない変数の間の関係
についても教えてください。
・相関係数とコサイン、シュワルツの不等式の関係を教えてください。
・主成分分析とはなんですか。どのようなデータの分析に用いると効果を発揮しますか？
分析結果を解釈するときにどんな点に注意すべきでしょうか。
参考ブログ：確率とは
https://easy-suugaku.blogspot.com/2024/05/probability-theory.html
R言語による視覚化
AIに聞いてみよう！
・集合論の元（げん）と部分集合の違いを教えてください。
・集合論の空集合は何を意味しているのでしょうか。空集合は集合の元ではなく部分集合である
とはどういうことでしょうか？
・σ加法族において、補集合と和集合の役割を教えてください。わかりやすくサイコロ投げ
を例に説明してください。
・可測空間と確率空間について、はじめて確率論を学ぶ人にでもわかるように教えてください。
・確率論における確率変数の役割について教えてください。なぜ事象そのものではなく、
確率変数の逆像に確率を付与するような立式になっているのでしょうか。コイン投げであれば
表が出る確率、裏が出る確率ではなく、1になる確率、0になる確率と表現するのはなぜですか。
R言語による視覚化
宇宙を超えて爆発するσ加法族
AIに聞いてみよう！
・確率論において、繰り返しの独立試行とはどのようなものでしょうか。コイン投げを例に
説明してください。
・繰り返しの独立試行を表現するために用いられる直積標本空間とはなんでしょうか？
・確率論におけるフィルトレーションとは何ですか？ 情報増大系とは何を意味していますか？
・サイコロを4回投げる繰り返しの独立試行におけるσ加法族の元の数は2^(6^4)という想像を
絶する数になるというのは本当ですか？ なぜこんな宇宙をはるかに超える大きな数になる
のでしょうか？
参考ブログ：有限加法性、完全加法性、完備化
https://easy-suugaku.blogspot.com/2024/05/probability-theory_27.html