Α.4.3. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 2, 3, 6 σελίδα 78
(σελίδα 138) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου
Εφαρμογή: 3 σελίδα 77
Απορία μαθητή.
Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Ενότητα Α.4.3.
Άσκηση 6.
Σελίδα 78.
Η ηλικία ενός πατέρα είναι τετραπλάσια από την ηλικία του γιου του.
Οι δύο ηλικίες μαζί συμπληρώνουν μισό αιώνα.
Πόσο χρονών είναι ο καθένας;
Απάντηση
Να γράψω εγώ τη λύση
αλλά θα περίμενα ίσως την άλλη φορά να δω
έστω μια σειρά από σένα.
Πώς θα ξεκινούσες να προσπαθείς να τη λύσεις;
Έστω να μου πεις ότι ξέρουμε πως το μισό του αιώνα είναι 50.
Κάτι από τη δίκη σου προσπάθεια.
Έχεις και τη βοήθεια της σύντομης απάντησης στις λύσεις του βιβλίου.
Έστω χ η ηλικία του γιου.
Η ηλικία ενός πατέρα είναι τετραπλάσια από την ηλικία του γιου του.
Άρα
Η ηλικία του πατέρα είναι ίση με 4·χ
Μίσος αιώνας είναι το μισό του 100 δηλαδή 100:2 δηλαδή 50.
Οι δύο ηλικίες μαζί συμπληρώνουν μισό αιώνα.
(χ) + (4χ) = 50 Αυτή τη σειρά κακώς δεν τη γράφουν οι μαθητές.
χ+4χ=50
5χ=50
Διαιρώ και τα 2 μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου που είναι το +5 .
5χ/5=50/5
Απλοποίηση.
χ=10
άρα
Η ηλικία του γιου είναι ίση με 10.
Η ηλικία του πατέρα είναι ίση με 4χ
όμως βρήκαμε χ=10
άρα
4χ=
4·10=
40
Επαλήθευση.
10+40= 50 Ισχύει.
Καθήκοντα
1η ώρα
Καθήκοντα
2η ώρα
Καθήκοντα
3η ώρα
Τα πρώτα 17 βίντεο στην playlist Solving Equations
Στην παρακάτω εξίσωση (αλλά και σε παρόμοιες εξισώσεις)
+4 –3χ = 2χ –5
να μπορείτε να απαντάτε στις ερωτήσεις:
Ποιος είναι ο άγνωστος της εξίσωσης; χ
Ποιο είναι το 1ο μέλος της εξίσωσης; +4 –3χ
Ποιο είναι το 2ο μέλος της εξίσωσης; +2χ –5
Ποιοι είναι οι όροι της εξίσωσης; ; +4, –3χ, +2χ, –5
Ποιοι είναι οι γνωστοί όροι της εξίσωσης; +4, –5
Ποιοι είναι οι άγνωστοι όροι της εξίσωσης; –3χ, +2χ
Να θυμάστε ότι στην ερώτηση:
Ποιος είναι ο άγνωστος της εξίσωσης;
πρέπει να μην γράφετε το πρόσημο
και να λέτε μόνο το ένα γράμμα (συνήθως χ).
Να θυμάστε ότι στην ερώτηση:
Ποιοι είναι οι όροι της εξίσωσης;
γράφετε τους όρους με το πρόσημο που έχουν.
Να θυμάστε ότι στην ερώτηση:
Ποιοι είναι οι γνωστοί όροι της εξίσωσης;
γράφετε τους όρους με το πρόσημο που έχουν.
Να θυμάστε ότι στην ερώτηση:
Ποιοι είναι οι άγνωστοι όροι της εξίσωσης;
γράφετε τους όρους με το πρόσημο που έχουν.
Άσκηση 1
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση +3 +χ = +12
Στον πρώτο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος τότε αλλάζει και πρόσημο.
Στον δεύτερο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Στην επίλυση της εξίσωσης να κάνετε μόνο ένα βήμα σε κάθε σειρά.
Nα γράφετε και με λόγια τι κάνετε σε κάθε σειρά της επίλυσης της εξίσωσης.
Nα κάνετε μία φορά επαλήθευση.
Άσκηση 2
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση +3 –χ = +1
Στον πρώτο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος τότε αλλάζει και πρόσημο.
Στον δεύτερο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Στην επίλυση της εξίσωσης να κάνετε μόνο ένα βήμα σε κάθε σειρά.
Nα γράφετε και με λόγια τι κάνετε σε κάθε σειρά της επίλυσης της εξίσωσης.
Nα κάνετε μία φορά επαλήθευση.
Και στις δύο ασκήσεις πρέπει να πηγαίνετε αργά
βήμα – βήμα
και οπωσδήποτε να γράφετε και με λόγια τι κάνετε κάθε φορά.
Και στις δύο ασκήσεις πρέπει να κάνετε μία φορά στην κάθε μία επαλήθευση.
Στόχος σας είναι να μείνει μόνο του το χ (ο άγνωστος) στο ένα μέλος (είτε στο 1ο είτε στο 2ο) χωρίς πρόσημο.
Θέλω να μείνει στο ένα μέλος (είτε στο 1ο είτε στο 2ο)
μόνο του το χ
ΧΩΡΙΣ – (όχι –χ αλλά χ)
για να λυθεί η εξίσωση.
Το +χ
όταν μείνει μόνο του
μπορώ στην τελευταία σειρά να το γράψω χ.
Δείτε μόνο τα πρώτα 17 βίντεο στην playlist Solving Equations
Στις ασκήσεις:
Να υπάρχει μόνο ένα ίσον σε κάθε σειρά.
Να φαίνεται το μοναδικό βήμα που κάνετε κάθε φορά.
Πολλές φορές στα μαθηματικά
αν επιχειρήσετε να κάνετε σε μία σειρά 2 βήματα
και κάνετε λάθος
χάνετε τους βαθμούς και από τα δύο βήματα.
Στην επίλυση της εξίσωσης να κάνετε μόνο ένα βήμα σε κάθε σειρά
και τουλάχιστον στο ένα που κάνετε σωστά
να πάρετε τις μονάδες που του αντιστοιχούν στη βαθμολογία.
Δείτε στην playlist ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ
τα πρώτα 17 βίντεο και κάντε συγκεκριμένες απορίες.
π.χ. στο 3 βίντεο -3 +4 γιατί βγήκε +1. Εγώ νομίζω -1.
Δείτε στην playlist Απαλοιφή παρενθέσεων
τα πρώτα 33 βίντεο και κάντε συγκεκριμένες απορίες.
Δείτε στην playlist Πλήθος όρων
τα πρώτα 7 βίντεο και κάντε συγκεκριμένες απορίες.
Δείτε στην playlist ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
τα πρώτα 14 βίντεο και κάντε συγκεκριμένες απορίες.
π.χ. στο 3 βίντεο 7 ( - 4 ) γιατί βγήκε -28. Εγώ νομίζω +3.
Πώς πρέπει να λύνετε τις ασκήσεις για να μην χάνετε βαθμό;
Δείτε τα παρακάτω παραδείγματα.
Λυμένη άσκηση 1
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση +3 +χ = +12
Λύση
1ος τρόπος
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
+3 +χ = +12
Πάω το +3 στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο.
+χ = -3 +12
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το +12 και το -3 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
χ = +9
2ος τρόπος
+3 +χ = +12
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αφαιρώ και στα 2 μέλη το 3.
+3 +χ -3 = +12 -3
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +3 και το -3 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το +12 και το -3 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Θα χρησιμοποιήσω και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
+χ +0 = +9
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
χ=+9
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση
+3+χ = +12
θέτω χ=+9
Άρα
+3+(+9) = +12
Απαλοιφή παρένθεσης.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + ,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το +
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.
+3+9= +12
Ισχύει.
Λυμένη άσκηση 2
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση +3 –χ=+1
Λύση
1ος τρόπος
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
+3 –χ = +1
Πάω το –χ στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο.
+3 = +1 +χ
Πάω το +1 στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο.
-1 +3 = +χ
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +3 και το -1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
+2 = +χ
Θα χρησιμοποιήσω την συμμετρική ιδιότητα:
Αν α = β
τότε
β = α
χ = +2
2ος τρόπος
+3 –χ=+1
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
+3 –χ = +1
Προσθέτω και στα 2 μέλη το χ.
+3 –χ +χ = +1 +χ
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +χ και το -χ αφού και οι δύο είναι άγνωστοι όροι.
Θα χρησιμοποιήσω και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
+3 +0 = +1 +χ
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
+3 = +1 +χ
Αφαιρώ και στα 2 μέλη το 1.
+3 -1 = +1 +χ -1
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +3 και το -1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το +1 και το -1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Θα χρησιμοποιήσω και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
+2 = 0 +χ
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
+2 = χ
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση
+3 –χ=+1
θέτω χ=+2
Άρα
+3 -(+2) = +1
Απαλοιφή παρένθεσης
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το –
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
+3-2= +1
Ισχύει.
Λυμένη άσκηση 3
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση -2 -χ = +1
1ος τρόπος
-2 -χ = +1
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
Πάω το -χ στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο.
-2 = +1 +χ
Πάω το +1 στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο.
-2 -1 = +χ
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το -2 και το -1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
-3 = +χ
Θα χρησιμοποιήσω την συμμετρική ιδιότητα:
Αν α = β
τότε
β = α
χ = -3
2ος τρόπος
-2 -χ = +1
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Προσθέτω και στα 2 μέλη το χ.
-2 -χ +χ = +1 +χ
Αναγωγή ομοίων όρων
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +χ και το -χ αφού και οι δύο είναι άγνωστοι όροι.
Θα χρησιμοποιήσω και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
-2 +0 = +1 +χ
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
-2 = +1 +χ
Αφαιρώ και στα 2 μέλη το 1.
-2 -1 = +1 +χ -1
Αναγωγή ομοίων όρων
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το -2 και το -1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το +1 και το -1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Θα χρησιμοποιήσω στο δεύτερο μέλος και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
-3 = +χ +0
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
-3 = +χ
Θα χρησιμοποιήσω την συμμετρική ιδιότητα:
Αν α = β
τότε
β = α
χ = -3
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση
-2 -χ = +1
Θέτω χ = -3
Άρα
-2-(-3)=+1
Απαλοιφή παρένθεσης
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το –
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
-2 +3 = +1
Ισχύει.
Λυμένη άσκηση 4
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση 1-χ=2
1ος τρόπος
1-χ=2
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
Πάω το -χ στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο και γίνεται +χ.
1=2+x
Πάω το 2 στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο και γίνεται -2.
-2+1=+χ
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το -2 και το +1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
-1=χ
Θα χρησιμοποιήσω την συμμετρική ιδιότητα:
Αν α = β
τότε
β = α
χ=-1
2ος τρόπος
1-χ=2
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Προσθέτω χ και στα δύο μέλη. (Τοποθετώ και στα δυο μέλη το +χ)
1-χ+χ=2+χ
Αναγωγή ομοίων όρων
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +χ και το -χ αφού και οι δύο είναι άγνωστοι όροι.
Θα χρησιμοποιήσω και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
1+0=2+χ
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
1=2+χ
Αφαιρώ 2 και στα δύο μέλη. (Τοποθετώ και στα δυο μέλη το -2)
1-2=2+χ-2
Αναγωγή ομοίων όρων
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το -2 και το 1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το 2 και το -2 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Θα χρησιμοποιήσω στο δεύτερο μέλος και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
-1=+χ +0
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
-1=+χ
Θα χρησιμοποιήσω την συμμετρική ιδιότητα:
Αν α = β
τότε
β = α
χ=-1
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση
1-χ=2
Θέτω χ=-1
Άρα
1-(-1)=2
Απαλοιφή παρένθεσης
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το –
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
1+1=2
Ισχύει.
Λυμένη άσκηση 5
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση –2 +χ = –3
1ος τρόπος
–2 +χ = –3
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
Πάω το –2 στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο και γίνεται +2.
+χ = –3 +2
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το –3 και το +2 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
χ = –1
2ος τρόπος
–2 +χ = –3
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Προσθέτω 2 και στα δύο μέλη. (Τοποθετώ και στα δυο μέλη το +2)
–2 +χ +2 = –3 +2
Αναγωγή ομοίων όρων
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το –2 και το +2 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το –3 και το +2 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Θα χρησιμοποιήσω στο πρώτο μέλος και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
+χ +0 = –1
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
χ = –1
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση
–2 +χ = –3
Θέτω χ = –1
Άρα
–2+(–1)=–3
Απαλοιφή παρένθεσης
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το –
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
–2–1=–3
Ισχύει.
Λυμένη άσκηση 6
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση χ –1 = –4
1ος τρόπος
χ –1 = –4
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
Πάω το –1 στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο και γίνεται +1.
χ = –4 +1
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το –4 και το +1 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
χ = –3
2ος τρόπος
χ –1 = –4
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Προσθέτω 1 και στα δύο μέλη. (Τοποθετώ και στα δυο μέλη το +1)
χ –1 +1 = –4 +1
Αναγωγή ομοίων όρων
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +1 και το –1
αφού και οι δύο είναι άγνωστοι όροι.
Θα χρησιμοποιήσω στο πρώτο μέλος και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
χ +0 = –3
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
χ = –3
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση
χ –1 = –4
Θέτω χ = –3
Άρα
(–3)–1=–4
Απαλοιφή παρένθεσης.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή εννοείται το + μπροστά της)
μπορούμε να την απαλείψουμε
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.
–3–1=–4
Ισχύει.
Λυμένη άσκηση 7
Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση +3 +χ = +2
Λύση
1ος τρόπος
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
+3 +χ = +2
Πάω το +3 στο άλλο μέλος και αλλάζει πρόσημο.
+χ = –3 +2
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το +2 και το –3 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
χ = –1
2ος τρόπος
+3 +χ = +2
Θα χρησιμοποιήσω τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αφαιρώ 3 και στα δύο μέλη. (Τοποθετώ και στα δυο μέλη το –3 )
+3 +χ –3 = +2 –3
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο πρώτο μέλος είναι το +3 και το –3 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Όμοιοι όροι στο δεύτερο μέλος είναι το +2 και το –3 αφού και οι δύο είναι γνωστοί όροι.
Θα χρησιμοποιήσω και την ιδιότητα:
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
+χ +0 = –1
Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα:
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
χ = –1
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση
+3+χ = +2
θέτω χ=–1
Άρα
+3+(–1) = +2
Απαλοιφή παρένθεσης.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + ,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το +
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.
+3–1=+2
Ισχύει.
Ξαναγράφω συγκεντρωτικά τα όσα
πρέπει να γράφεται στα κατάλληλα σημεία
κατά την επίλυση των εξισώσεων και την επαλήθευση:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Τοποθετώ και στα δύο μέλη τον όρο . . .
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
Πάω τον όρο . . . στο . . . μέλος και αλλάζει πρόσημο.
Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο . . . μέλος είναι το . . . και το . . . αφού και οι δύο είναι . . . όροι.
Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν.
α+(-α) = 0
(-α)+α = 0
Συμμετρική ιδιότητα.
Αν α = β
τότε
β = α
Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
α + 0 = α
0 + α = α
Απαλοιφή παρενθέσεων.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + ,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το +
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –,
μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το –
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση . . .
θέτω χ = . . .
Οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται . . .
Απαλοιφή παρένθεσης.
. . .
Ισχύει.
Το διαγώνισμα θα έχει 2 σελίδες.
Πρώτη σελίδα
Ονοματεπώνυμο:...........................................................
Θέμα 1
Δίνεται η εξίσωση -3χ+2=-χ-9
α) Ποιος είναι ο άγνωστος;
β) Ποιοι είναι οι γνωστοί όροι;
γ) Ποιοι είναι οι άγνωστοι όροι;
Θέμα 2
Να λυθεί η εξίσωση 3+χ=-5
Στον πρώτο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος τότε αλλάζει και πρόσημο.
Στον δεύτερο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Στην επίλυση της εξίσωσης να κάνετε μόνο ένα βήμα σε κάθε σειρά.
Να γράφετε και με λόγια τι κάνετε σε κάθε σειρά της επίλυσης της εξίσωσης.
Να κάνετε μία φορά επαλήθευση.
Θέμα 3
Να λυθεί η εξίσωση 2-χ=7
Στον πρώτο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος τότε αλλάζει και πρόσημο.
Στον δεύτερο τρόπο να χρησιμοποιείται τον κανόνα:
Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Στην επίλυση της εξίσωσης να κάνετε μόνο ένα βήμα σε κάθε σειρά.
Να γράφετε και με λόγια τι κάνετε σε κάθε σειρά της επίλυσης της εξίσωσης.
Να κάνετε μία φορά επαλήθευση.
Δεύτερη σελίδα
[1] Όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
Πάω τον όρο . . . στο . . . μέλος και αλλάζει πρόσημο και γίνεται . . .
[2] Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο όρο, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Τοποθετώ και στα δύο μέλη τον όρο . . .
[3] Αναγωγή ομοίων όρων.
Όμοιοι όροι στο . . . μέλος είναι το . . . και το . . . αφού και οι δύο είναι . . . όροι.
[4] Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. α+(-α) = 0 = (-α)+α
[5] Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. α + 0 = α = 0 + α
[6] Συμμετρική ιδιότητα. Αν α = β τότε β = α
[7] Επαλήθευση.
Στην αρχική εξίσωση . . .
θέτω χ = . . .
Οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται . . .
Απαλοιφή παρένθεσης.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + , μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το +
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –, μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το –
και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
. . .
Ισχύει.