Priorités opératoires

ORGANISER ET EFFECTUER UN CALCUL

I) POUR COMMENCER

Pour éviter d’alourdir certains calculs avec des parenthèses, les mathématiciens se sont mis d’accord pour adopter des règles de calculs communes.

Nous allons essayer de les retrouver sur des exemples.

Quand il n’y a que des additions :

A = 15 + 3 + 5 + 7

A = 20 + 10

A = 30

B = 2,5 + 3,6 + 2,4 + 0,5

B = 3 + 6

B = 9

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

C = 10 + 10 + 10 + 10 + 5

C = 45

Quelle est la règle de calcul (vue en 6ème) illustrée par ces trois exemples ?

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

Quand il n’y a que des multiplications :

A = 3 ´5 ´2 ´4

A = 12 ´10

A = 120

B = 2,5 ´7 ´2

B = 5 ´7

B = 35

C = 2 ´8 ´7 ´0,5

C = 1 ´56

C = 56

Quelle est la règle de calcul (vue en 6ème) illustrée par ces trois exemples ?

……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………….

Les soustractions et les divisions

12 – 4 =

4 – 12 =

27 – 7 =

7 – 27 =

36 – 30 =

30 – 36 =

Les règles trouvées plus haut sont-elles vraies pour les soustractions ? ………………

2 ¸ 10 =

10 ¸ 2 =

100 ¸ 4 =

4 ¸ 100 =

1 ¸ 2 =

2 ¸ 1 =

Les règles trouvées plus haut sont-elles vraies pour les divisions ? ………………

En fait, « 19 – 7 + 5 » est une écriture simplifiée de « (19 – 7) + 5 » et

« 1 + 2 – 3 + 5 – 4 » est une écriture simplifiée de « ((( 1 + 2 ) – 3 ) + 5) – 4 ».

Quand il y a des additions et des soustractions avec des multiplications :

15 – 2 ´3 = 15 – 6 = 9

Quand nous sommes rentrés en classe, le tableau n’avait pas été effacé. Il restait des calculs qu’avaient effectués les quatrièmes.

10 ´2 – 5 ´3 = 20 – 15 = 5

4 + 5 ´3 = 4 + 15 = 19

6 ´3 + 10 = 18 + 10 = 28

Quelle est la nouvelle règle de calcul illustrée par ces exemples ?

…………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….. Cette règle est aussi vraie pour les divisions.

La semaine suivante, on pouvait lire

a) Quel est le signe opératoire qui n’est pas toujours écrit ?………………………………

b) En utilisant cette convention, supprime tous les signes ´inutiles dans les expressions : A = 5 ´a + 6 ´b – 3 =

B = 3 ´(2 ´a + 4 ´ b) = C = (2 + a) ´(7 + b) =

c) Peut-on effectuer la même simplification dans l’écriture de 7 ´4 ? ………………………… Pourquoi ?……………………………………………………………………………………….

d) Quelle règle peut-on déduire de ces exemples ?

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II) CALCULER AVEC DES PARENTHESES (et des crochets …)

Exemples :

A = 66

B = 5 ´[19 – (8 + 7)] B = 5 ´[19 – 15]

B = 5 ´4

B = 20

C = [ [ 4 ´( 6 + 2 ) ] – ( 6 ´5 ) ] + 3

C = [(4 ´8) – 30] + 3

C = (32 – 30) + 3

C = 2 + 3

C = 5

Insister sur les deux types de présentations correctes des calculs. Aller à la ligne rigoureusement ou arbre à calculs.

Ecrivons la règle de calcul illustrée par ces exemples. Formulation à faire trouver.

Règle 1 : dans une suite de calculs, il faut d’abord effectuer les calculs entre parenthèses. On commence par les parenthèses les plus à l’intérieur.

Prévoir un ou deux calculs avec parenthèses parasites pour mieux apprécier les conventions qui suivent. Le calcul C ci-dessus est déjà convaincant.

III) CALCULER SANS PARENTHESES

Règle 2 : s’il n’y a que des additions, on peut faire les opérations dans n’importe quel ordre : le résultat est le même. C’est vrai aussi s’il n’y a que des multiplications.

Il faut alors organiser astucieusement les calculs.

Exemples : 3 + 4 + 17 + 36 = 20 + 40 = 60

5 ´7 ´6 ´2 ´2 = 10 ´35 ´2 = 10 ´70 = 700

A = (7 + 4) ´(8 – 2) A = 11 ´6