Tableau des réductions

Le théorème sur le redressement d'un tableau affirme que le résultat sera le même quel que soit l'ordre des réductions. Mais au fait comment repérer les différentes façons d'effectuer ces réductions ? La réponse est simple et caractéristique des tours de magie à l'origine des propriétés étonnantes du jeu de taquin. On peut modifier à volonté l'étiquette d'une cellule, ce qui peut servir (entre autres) à mémoriser le creux choisi pour une réduction ; attribuez le numéro 1 à ce creux, comme illustré ci-dessous, avant de cliquer dessus (alt-clic) :

Vous devez obtenir un résultat voisin (sans la couleur bleue qui n'est utile que sur ces clichés inanimés). La réduction d'un creux interne crée un creux externe, qui apparaît d'habitude en vert ; mais si ce creux interne est numéroté, la cellule correspondante est évacuée et apparaît avec un numéro rouge dans le coin créé par la réduction. Les cellules rouges (abréviation de numérotées en rouge) sont inactives : elles ne font pas partie du tableau principal et ne sont donc pas prises en compte pour les réductions ultérieures.

Continuez en numérotant 2, 3, 4 et 5 les différents creux qui servent à réduire le tableau :

Le tableau redressé est maintenant bordé au nord-est par des cellules numérotées en rouge au lieu de simples cellules vertes comme sur la page précédente. Ces cellules rouges forment à leur tour un tableau, sauf que l'ordre est inversé (chaque ligne et chaque colonne rouge sont décroissantes), et il n'est pas difficile de comprendre pourquoi. Pour revenir à la situation de départ il suffit de cliquer (shift-clic) sur les cellules rouges dans l'ordre 5, 4, 3, 2, 1, et on obtient :

Le tableau rouge au sud-ouest indique l'ordre des réductions ! Pour que les tableaux rouges soient de "vrais" tableaux (sans inversion de l'ordre) il aurait suffi de numéroter les réductions dans l'ordre inverse, c'est juste une question de convention.

La réponse à la question initiale est donc : le nombre de façons de redresser un tableau gauche T est égal au nombre de tableaux (standard) ayant pour forme la partition interne associée à T — ici [2 2 1]. Il se trouve qu'ici ce nombre vaut 5 — vérifiez-le — mais en général il n'est pas égal au nombre de cellules.

On sait calculer facilement ce nombre grâce à une formule simple appelée formule des équerres, voir page suivante.