Symétries cachées
Les pages précédentes ont décrit des symétries cachées qui apparaissent fréquemment dans le jeu de taquin. L'une des explications, et probablement la meilleure, est de considérer un tableau de Young comme une suite croissante de diagrammes, et d'examiner comment une réduction (au sens du jeu de taquin) déforme cette suite de diagrammes, cf. Sergey Fomin, Knuth equivalence, jeu de taquin, and the Littlewood-Richardson rule (Appendix 1 to Chapter 7 in: R.P.Stanley, Enumerative Combinatorics, vol.2, Cambridge University Press, 1999).
Considérons de ce point de vue notre exemple habituel : désactivons les cellules de numéro supérieur à 3 (clic droit sur la cellule 12, choix Active on->off, puis clic droit sur la cellule 3, choix Active off->on), et dessinons (à la main) les quatre premiers diagrammes correspondants ; on obtient alors la première ligne sur l'image ci-dessous. La seconde ligne représente, sur le même modèle, le résultat de la réduction :
Le diagramme de gauche correspond à la forme interne μ du tableau : [2 2 1] avant réduction, [2 1 1] après réduction ; le coin qui détermine la réduction est colorié en rouge.
Les diagrammes suivants (A, A'), (B, B'), etc. correspondent à l'ajout des cellules numérotées respectivement 1, 2 et 3. Si la cellule ne glisse pas pendant la réduction, elle est ajoutée au même endroit sur les diagrammes du haut et du bas, c'est le cas pour les numéros 1 et 3. Le cas intéressant est celui de la cellule numéro 2, qui glisse, car elle est voisine de la cellule rouge de A (celle qui n'existe pas dans A' ) : dans ce cas on a B' = A.
Activons maintenant les cellules 4 à 7 (clic droit sur la cellule 7, choix Active off->on), et poursuivons la réduction : on obtient les diagrammes ci-contre, seule la cellule 6 glisse.
Enfin activons toutes les cellules, et terminons la réduction : on obtient les diagrammes ci-contre, seule la cellule 10 glisse.
Quel est le bilan ? La représentation compacte d'une réduction (cf juste au-dessus les deux tableaux de la colonne de gauche) a été remplacée par deux suites de diagrammes (répartis sur trois images, pour des contraintes de mise en page), ce qui ne semble pas bien malin. Mais ces diagrammes peuvent être construits en remplaçant les règles du jeu de taquin par des règles locales de commutativité, qui ont été esquissées ci-dessus, et qui font apparaître certaines des symétries décrites sur ces pages.
L'animation Flash qui a permis la construction de ce site n'est plus adaptée à ce nouveau point de vue, qui ne sera donc pas développé ici, mais plutôt sur le blog où je publie quelques images de la combinatoire obtenues avec le logiciel Sage.