Involutions: (P,Q) = (Q,P)

Le théorème qui décrit le résultat de l'échange des tableaux P et Q a pour corollaire immédiat :

Théorème : une permutation est une involution si et seulement si elle est associée à une paire de tableaux identiques.

On en déduit qu'il y a autant d'involutions sur n éléments que de tableaux droits constitués de n cellules. Pour une illustration numérique, répétons la liste des tableaux de taille 7 :

• [7] et [1 1 1 1 1 1 1] : 1 tableau standard dans chaque cas,
• [6 1] et [2 1 1 1 1 1] : 6 tableaux standard dans chaque cas,
• [5 2] et [2 2 1 1 1] : 14 tableaux standard dans chaque cas,
• [5 1 1] et [3 1 1 1 1] : 15 tableaux standard dans chaque cas,
• [4 3] et [2 2 2 1] : 14 tableaux standard dans chaque cas,
• [4 2 1] et [3 2 1 1] : 35 tableaux standard dans chaque cas,
• [4 1 1 1] : 20 tableaux standard pour cette forme qui est sa propre duale,
• [3 3 1] et [3 2 2] : 21 tableaux standard dans chaque cas.

et répétons le calcul fait pour les permutations, mais cette fois sans élévations au carré :

2 * (1 + 6 + 14 + 15 + 14 + 35 + 21) + 20 = 232

Il y a donc 232 tableaux standard de taille 7. Comptons maintenant les involutions en les répartissant selon leur nombre de points fixes :

• 1 point fixe : après avoir choisi ce point fixe (7 choix) il reste à choisir trois transpositions, donc 2 éléments parmi 6 (15 choix) puis 2 éléments parmi 4 (6 choix), enfin il faut diviser le résultat par 3! car l'ordre des transpositions est sans importance ; il existe donc 7 * 15 = 105 involutions de 7 éléments avec un seul point fixe ;
• 3 points fixes : choisir trois éléments parmi 7 (35 choix), puis une paire d'éléments à transposer parmi 4 (6 choix), et diviser le résultat par 2 : il existe donc 35 * 3 = 105 involutions de 7 éléments avec trois points fixes ;
• 5 points fixes à choisir parmi 7 (21 choix), et c'est tout, il existe donc 21 involutions de 7 éléments avec cinq points fixes.

Reste l'identité, d'où le nombre total d'involutions :

2 * 105 + 21 + 1 = 232

Décoiffant, non ?