Formule des équerres

Soit une partition et son diagramme associé ; on appelle équerre d'une cellule le nombre de cellules situées à sa droite et/ou au-dessus : sur la figure de droite la partition est [6 5 4 4 3] et l'équerre de la cellule E (ligne 2, colonne 3) vaut 6 (il faut compter la cellule E dans le calcul de l'équerre).

La figure de gauche indique les valeurs des équerres pour chaque cellule du diagramme associé à la partition [5 3 2 2]. Soit n le nombre de cellules du diagramme, autrement dit la somme des éléments de la partition ; la formule des équerres énonce que le nombre de tableaux standard ayant cette forme vaut :

(factorielle n) / (produit des équerres), soit ici :

(12 * 11 * 10 * … * 3 * 2) / (8 * 7 * 5 * 4 * 4 * 3 * 2 * 2 * 2) = 55 * 81 = 4455

Cette formule est célèbre car :

1. elle est simple ;
2. elle possède une démonstration simple mais fausse, hélas ;
3. la démonstration correcte la plus élégante est de loin celle de Pak et Stoyanovskii, qui utilisent de façon très ingénieuse le principe du jeu de taquin !

La démonstration fausse est la suivante : numérotez au hasard de 1 à n les cellules du diagramme, il y a n ! façons de le faire. Considérez une cellule E et les cellules qui composent son équerre — 6 cellules oranges sur l'illustration : le numéro de E doit être le plus petit, et la probabilité que ce soit le cas vaut 1/équerre(E) — ici 1/6. Convaincant, non ? Hélas ces événements ne sont pas indépendants, pour s'en apercevoir il suffit d'examiner les 24 façons de numéroter les cellules d'un tableau de forme [2 2].

Pour en savoir plus sur l'algorithme de Pak et Stoyanovskii — qui permet de démontrer pour de vrai la formule des équerres — faites une recherche Google sur Stoyanovskii sans vous tromper d'orthographe !