Evacuation

Partons d'un tableau droit, et évacuons la cellule placée à l'origine, qui porte forcément le numéro minimal (ici 1): le résultat figure ci-dessous, au milieu. Recommençons (alt-clic sur la cellule en bas à gauche), on obtient le tableau de droite :

Et ainsi de suite; après douze évacuations on obtient le tableau ci-dessous à gauche. Seul hic, ce n'est pas vraiment un tableau, car l'ordre des numéros est inversé. Qu'à cela ne tienne, un clic droit sur une cellule affiche le menu, et on choisit Opposite order, le résultat est le tableau du milieu. On recommence le même algorithme d'évacuation, et après douze alt-clics sur la cellule en bas à gauche, on obtient le tableau de droite :

Il suffit de renverser à nouveau l'ordre (opposite order) pour constater qu'on est revenu au tableau de départ. La transformation qui évacue l'une après l'autre toutes les cellules placées à l'origine, a été appelée évacuation par Schützenberger, qui a prouvé le théorème illustré ci-dessus:

Théorème : l'opérateur d'évacuation est involutif.

Note: dans l'article fondamental Promotion des morphismes d'ensembles ordonnés, cet opérateur est appelé contraire, et bizarrement noté # !

L'évacuation est aussi appelée Involution de Schützenberger. En fait on peut appliquer cet opérateur à un tableau gauche, et le théorème ci-dessus reste vrai. Mais pour un tableau droit T, comme ici, il y a plus :

Redressons T vers le coin supérieur droit (suite de dilatations, shift-clic) ; la figure ci-dessous montre (au mileu) le résultat de la première dilatation, puis (à droite) le tableau redressé final :

Le tableau de droite est "le même", mutatis mutandis, que celui obtenu précédemment par évacuation ! Notons que la dualité entre tableaux droits, selon qu'on redresse un tableau vers le coin inférieur gauche ou vers le coin supérieur droit, est clairement involutive. Par contre il n'est pas évident a priori que ces deux tableaux aient même forme (ici [5 3 2 2]).