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REGRA DE SINAIS
REGRA DE SINAIS
Há inúmeras justificativas para o fracasso no aprendizado da disciplina de matemática, e uma delas é a falta do domínio de alguns conceitos e de algumas operações básicas, principalmente com os números inteiros. Muitos alunos não dominam tais operações e aí começam a fazer confusão e cometer alguns erros primários. Através da minha experiência, notei que muitos alunos decoram a tal regra de sinal e acham que isso vai valer para todas as operações, o que não é verdade. Eu sempre faço a seguinte pergunta: Se temos dois números, um positivo e outro negativo, o resultado vai ser um número positivo ou negativo? E se os dois forem negativos? Dependendo da resposta já sei que a dificuldade é séria, e que é preciso retomar o conteúdo referente aos números inteiros. Alguns respondem a primeira pergunta, dizendo que é um número negativo e a segunda é um número positivo, então eu digo que depende da operação. Nesse momento muitos alunos contestam, dizendo que o seu professor ensinou que mais com menos vai dar menos, e que menos com menos vai dar mais.
Dependendo das respostas, uma coisa é certa, já sei que conseguiram aprender a regra que funciona para as operações de multiplicação e divisão. Agora faço a seguinte pergunta. Como surgiu os números negativos? Veja alguns exemplos:
a) 10 - 4 = 6 ( Os números 10 é o minuendo, 4 é o subtraendo e o 6 é o resto ou diferença ).
b) 4 - 10 = ?. A operação da subtração só é possível no conjunto dos números naturais, N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} quando o minuendo for maior ( > ) que o subtraendo. Até o 6º ano do ensino fundamental, o aluno responde que é impossível fazer essa operação, e que não é possível tirar 10 do número 4. Essa pergunta ficou muitos séculos sem resposta e muitos matemáticos importantes morreram sem ver essa solução, então é fácil de saber porque os alunos têm dificuldades em aprender as operações com os números inteiros, pois essa dúvida se trata de uma questão histórica.
Como esse problema foi resolvido? Foi considerado o número 10 como se fosse uma dívida, então se eu tenho 4 e devo 10, caso resolva pagar a minha dívida o dinheiro não é suficiente para pagar a dívida toda, ainda fico devendo 6, e foi assim que o problema foi resolvido e esse número foi posteriormente considerado como um número negativo. Matematicamente fica assim: 4 - 10 =- 6
Observe que esse número, ou seja, um número com um traço antes ( - 6 ) não pertence aos números naturais { 0, 1, 2, 3, 4, ...}, então foi criado o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z, que vai do menos infinito até o mais infinito, ou seja, Z = { ..., -3,-2, -1, 0, + 1, + 2, + 3, ...}. Os números com os sinais (+ ) são considerados números positivos e para facilitar é escrito sem o sinal, uma vez que o sinal ( - ) representa um número negativo, então os números naturais também são números inteiros, isto é , podemos dizer então, que o conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Também podemos dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, ou ainda é um subconjunto dos números inteiros. Matematicamente fica assim: N C Z.
E veja também esse vídeo que mostra algumas operações.
Operações com os números inteiros:
1) Adição algébrica
a) (+10)+ (+ 20) = 10 + 20 = 30 ( tenho 10 mais tenho 20, tenho 30 )
b) (- 10) + (- 20) = - 30 ( devo 10, mais, devo 20, ficarei devendo 30 )
c) ( -10) + ( +20) = 10 ( devo 10, mais, tenho 20, pagando a minha dívida, ainda vai sobrar 10 )
d) ( +10) + ( - 30) = -20 ( tenho 10, mais, devo 30, pagando parte da minha dívida, ainda fico devendo 20).
2) Subtração
A subtração é feita da seguinte forma: A soma do minuendo com o oposto do subtraendo, em outras palavras repete o primeiro número e faz o oposto do segundo número ( sinal trocado).
a) (+ 5 ) - ( + 3 ) = 5 - 3 = 2 ( repete o primeiro número e inverte o sinal do segundo número)
b) ( +5 ) - ( - 2) = 5 + 2 = 7
c) ( - 10 ) - ( - 15) = -10 + 15 = 5
d) ( + 20 ) - ( - 20 ) = 20 + 20 = 40
3) Multiplicação:
Multiplicar nada mais é do que somar parcelas iguais.
a) (+ 5) + (+ 5) + (+ 5) + (+ 5) = 4 .(+ 5 )= 20
b) ( - 5 ) + ( - 5 ) + ( - 5 ) + ( - 5 ) = 4 . ( - 5 ) = - 2 0
c) ( - 4 ) + ( - 4 ) + ( - 4 ) = 3. ( - 4 ) = - 12
d) ( + 6 ) + ( + 6 ) + ( + 6 ) = 3. ( +6 ) = 18
A regra da multiplicação é a seguinte:
A multiplicação de dois números de sinais iguais, o produto é um número positivo.
A multiplicação de dois números de sinais diferentes, o produto é um número negativo.
Exemplos:
a) ( - 4 ) . ( - 3 ) = 12
b) ( + 3 ). ( - 4 ) = - 12
c) ( - 4 ) . ( + 3 ) = - 12
d) ( + 4) . ( + 3 ).( - 2 ) = (+12).(- 2) = - 24
4) Divisão:
A divisão de dois números inteiros: A regra da divisão é a mesma da multiplicação.
Exemplos:
a) ( + 10 ) : ( + 2 ) = 5
b) ( - 10 ) : ( - 2 ) = 5
c) ( + 10 ) : ( - 2 ) = - 5
d) ( - 10 ) : ( + 2 ) = - 5
5) Potenciação
a) 5 ² = 5.5 = 25
b) ( - 6 ) ² = ( - 6 ). ( - 6 ) = 36
c) - 6 ² = - (6 .6) = - 36
d) ( - 2 ) ³ = ( -2 ) . ( - 2 ) . ( - 2) =
(+ 4 ) . ( - 2 ) = - 8
Cuidado!
( - 2 ) ² # - 2 ²
( - 2 ) . ( - 2 ) = + 4
- 2 ² = - ( 2 . 2) = - 4 ,
isto é : 4 # - 4.
Regra: Quando o expoente for um número par a potência (resultado) será um número positivo .
Quando o expoente for um número ímpar a potência será um número de mesmo sinal da base.
( + 2 ) ³ = 2 . 2 . 2 = 8 (base = 2 , potência = 8 )
( - 2 ) ³ = ( -2 ) . ( - 2 ) . ( - 2) = ( + 4 ) . ( - 2 ) = - 8
( base = - 2, potência = - 8 ).
Propriedades da potenciação
I) Produto de potência de mesma base
(Repetimos a base e somamos os expoentes)
a) 2² . 2¹ = 2²+¹ = 2³
b) 3.3.3 = 3³
II) Quociente de potência de mesma base
(Repetimos a base e subtraímos os expoentes)
a) 2³ : 2¹ = 2³ -¹ = 2²
b) 2³ : 2³ =2³-³ = 2° = ?
mas como 2³ = 2.2.2 = 4.2 = 8 e 8 : 8 = 1, logo 2° = 1
III) Potência de potência
(Repetimos a base e somamos os expoentes)
a) (2¹)³ = 2¹·³ = 2³
b) (2²)³ = 2 elevado a 6
IV) Expoente negativo
a) 2² : 2³ = 2² -³ = 2-¹, mas como 2² = 4 e 2³ = 8, temos 4 : 8 = 1/2
b) 3¹ : 3³ = 3¹-³ = 3-² , mas como 3¹ = 3 e 3³ = 27, temos 3 : 27= 1/9
( Invertemos a base e escrevemos o expoente sem sinal)
No primeiro caso a base é 2, e o seu inverso é 1/2 e o expoente é 1, que não precisamos escrever.
No segundo caso a base é 3, e o seu inverso é 1/3 e o expoente é 2, fazendo 1 .1 = 1 e 3 . 3 = 9, temos 1/9
6) Radiciação
a) Raiz quadrada do número 4 é igual a 2 <=> (2² = 2. 2 = 4)
b) Raiz quadrada do número 9 é igual a 3 <=> ( 3² = 3.3 =9)
c) Raiz quadrada do número 81 é igual a 9 <=> (9² = 9.9 = 81)
Obs: Quando achamos a raiz quadrada de um número estamos determinando a medida do lado de um quadrado considerando o número dado como a área desse quadrado.
d) A raiz quadrado do número - 16. Não existe nos reais. (somente no conjunto dos números complexos).
Obs: Não existe no conjunto dos números reais, uma vez que um número negativo elevado ao exponte par, o resultado sempre será uma número positivo.
e) Raiz cúbica do número 8 é igual a 2 <=> (2³ = 2.2.2 = 4.2 = 8)
f) Raiz cúbica do número 64 igual 4 <=> (4³ = 4.4.4 = 16.4 = 64 )
g) Raiz cúbica do número 1000 é igual a 10 <=> (10³ = 10.10.10 = 100.10 = 1000 )
Obs: Quando achamos a raiz cúbica de um número estamos determinando a medida da aresta desse cubo considerando o número dado como o volume desse cubo.
g) Raiz cúbica do número - 8 é igual a - 2 <=> [(-2)³ = ( - 2).(- 2) .(- 2) = (+4)(- 2) = - 8 ]
Não existe no conjunto dos números reais, um número que elevado a um expoente par que o resultado seja um número negativo. E é por isso que a raiz cúbica (índice ímpar) foi possível encontrar a solução.
Conjuntos numéricos
1) Conjunto dos números naturais N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
2) Conjunto dos números inteiros Z = { ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ... }
3) Conjunto dos números racionais Q: são os números que podem ser escritos na forma a/b, sendo a e b números inteiros a b diferente, isto é, em resumo são os números que pode ser escrito na forma fracionária.
Quando dividimos dois números por exemplo, 2 por 9, isto é, 2 : 9 = 2/9 , o quociente é igual a 0,22222.... ( dízima periódica, isto é, o resto da divisão não é zero e repete infinitamente)
O conjunto dos números naturais está contido nos números inteiros, que está contido nos números racionais.
4) Conjunto dos números irracionais : ( é o contrário, são os números que não pode ser escrito na forma fracionária .)
Exemplos: raiz quadrada do número dois, que é igual 1,4142135623730... , raiz quadrada do número cinco, o número pi, que é igual a 3,14159265...,(não podemos prever o número que vem depois)
5) Conjunto dos números reais: na verdade é a união desses conjuntos.
Não é número real, a raiz com índice par de um número negativo.
Veja a Tabuada geométrica. Gosto muito de mostrar aos meus alunos essa tabuada, pois podemos trabalhar o conteúdo de área de quadrado e retângulo, por exemplo, qual é a área de um retângulo de 4 por 6, isto é, 4 x 6 , que é igual a 24, a área de um quadrado de lado igual a 5, isto é, 5 ² = 5 x 5 = 25.
Os quadrados dessa tabuada, são conhecidos como números quadrados perfeitos, (possui raiz quadrada exata).
Os produtos notáveis, ao alguns casos particulares, o produto da soma, podemos mostrar que é formando por um quadrado maior utilizando dois quadrados de áreas diferentes com dois retângulos com as mesmas áreas. Também vale a pena conferir o site abaixo
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