Regra de sinais

Há inúmeras justificativas para o fracasso no aprendizado da disciplina de matemática, e uma delas é a falta do domínio de alguns conceitos e de algumas operações básicas, principalmente com os números inteiros. Muitos alunos não dominam tais operações e aí começam a fazer confusão e cometer alguns erros primários. Através da minha experiência, notei que muitos alunos decoram a tal regra de sinal e acham que isso vai valer para todas as operações, o que não é verdade. Eu sempre faço a seguinte pergunta: Se temos dois números, um positivo e outro negativo, o resultado vai ser um número positivo ou negativo? E se os dois forem negativos? Dependendo da resposta já sei que a dificuldade é séria, e que é preciso retomar o conteúdo referente aos números inteiros. Alguns respondem a primeira pergunta, dizendo que é um número negativo e a segunda é um número positivo, então eu digo que depende da operação. Nesse momento muitos alunos contestam, dizendo que o seu professor ensinou que mais com menos vai dar menos, e que menos com menos vai dar mais.

Dependendo das respostas, uma coisa é certa, já sei que conseguiram aprender a regra que funciona para as operações da multiplicação e da divisão. Agora faço a seguinte pergunta. Como surgiu os números negativos? Veja alguns exemplos:

a) 10 - 4 = 6 ( Os números 10 é o minuendo, 4 é o subtraendo e o 6 é o resto ou diferença ).

b) 4 - 10 = ?. A operação da subtração só é possível no conjunto dos números naturais, N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} quando o minuendo for maior ( > ) que o subtraendo. Até o 6º ano do ensino fundamental, o aluno responde que é impossível fazer essa operação, e que não é possível tirar 10 do número 4. Essa pergunta ficou muitos séculos sem resposta e muitos matemáticos importantes morreram sem ver essa solução, então é fácil de saber porque os alunos têm dificuldades em aprender as operações com os números inteiros, pois essa dúvida se trata de uma questão histórica.

Como esse problema foi resolvido? Foi considerado o número 10 como se fosse uma dívida, então se eu tenho 4 e devo 10, caso resolva pagar a minha dívida o dinheiro não é suficiente para pagar a dívida toda, ainda fico devendo 6, e foi assim que o problema foi resolvido e esse número foi posteriormente considerado como um número negativo. Matematicamente fica assim: 4 - 10 = - 6

Observe que esse número, ou seja, um número com um traço antes ( - 6 ) não pertence aos números naturais { 0, 1, 2, 3, 4, ...}, então foi criado o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z, que vai do menos infinito até o mais infinito, ou seja, Z = { ..., -3, -2, -1, 0, + 1, + 2, + 3, ...}. Os números com os sinais (+ ) são considerados números positivos e para facilitar é escrito sem o sinal, uma vez que o sinal ( - ) representa um número negativo, então os números naturais também são números inteiros, isto é , podemos dizer então, que o conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Também podemos dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, ou ainda é um subconjunto dos números inteiros. Matematicamente fica assim: N C Z.

E veja também esse vídeo que mostra algumas operações.

Operações com os números inteiros:

1) Adição algébrica

a) (+10)+ (+ 20) = 10 + 20 = 30 ( tenho 10 mais tenho 20, tenho 30 )

b) (- 10) + (- 20) = - 30 ( devo 10, mais, devo 20, ficarei devendo 30 )

c) ( -10) + ( +20) = 10 ( devo 10, mais, tenho 20, pagando a minha dívida, ainda vai sobrar 10 )

d) ( +10) + ( - 30) = -20 ( tenho 10, mais, devo 30, pagando parte da minha dívida, ainda fico devendo 20).

2) Subtração

A subtração é feita da seguinte forma: A soma do minuendo com o oposto do subtraendo, em outras palavras repete o primeiro número e faz o oposto do segundo número ( sinal trocado).

a) (+ 5 ) - ( + 3 ) = 5 - 3 = 2 ( repete o primeiro número e inverte o sinal do segundo número)

b) ( +5 ) - ( - 2) = 5 + 2 = 7

c) ( - 10 ) - ( - 15) = -10 + 15 = 5

d) ( + 20 ) - ( - 20 ) = 20 + 20 = 40

3) Multiplicação:

Multiplicar nada mais é do que somar parcelas iguais.

a) (+ 5) + (+ 5) + (+ 5) + (+ 5) = 4 .(+ 5 )= 20

b) ( - 5 ) + ( - 5 ) + ( - 5 ) + ( - 5 ) = 4 . ( - 5 ) = - 2 0

c) ( - 4 ) + ( - 4 ) + ( - 4 ) = 3. ( - 4 ) = - 12

d) ( + 6 ) + ( + 6 ) + ( + 6 ) = 3. ( +6 ) = 18

A regra da multiplicação é a seguinte:

A multiplicação de dois números de sinais iguais, o produto é um número positivo.

A multiplicação de dois números de sinais diferentes, o produto é um número negativo.

Exemplos:

a) ( - 4 ) . ( - 3 ) = 12

b) ( + 3 ). ( - 4 ) = - 12

c) ( - 4 ) . ( + 3 ) = - 12

d) ( + 4) . ( + 3 ).( - 2 ) = (+12).(- 2) = - 24

4) Divisão:

A divisão de dois números inteiros: A regra da divisão é a mesma da multiplicação.

Exemplos:

a) ( + 10 ) : ( + 2 ) = 5

b) ( - 10 ) : ( - 2 ) = 5

c) ( + 10 ) : ( - 2 ) = - 5

d) ( - 10 ) : ( + 2 ) = - 5

Resumo

Adição álgebrica:

1) (+) + (+) = (+) 2) (+) + (-) = (+)

3) (-) + ( +) = (-) 4) (-) + (-) = (-)

Sinais iguais : soma e repete os sinais das parcelas.

Sinais diferentes: subtrai e dá o sinal do maior número em módulo(número sem sinal).

Multiplicação e divisão:

1) (+).(+) = (+) 1) (-).(-)= (+)

2) (+):(+) = (+) 2) (-):(-) =(+)

3) (+).(-) = (-) 3) (-).(+)= (-)

4) (+):(-) = (-) 4) (-):(+) =(-)

Multiplicação e divisão: