Sandsynlighed og kombinatorik

I dette kapitel skal I lære om:

• Hvordan vi skriver sandsynlighed som brøker, decimaltal og procent

• Hvordan man kan regne med sandsynligheder

• Sandsynlighedstabeller

• Kombinatorik

Sandsynlighedstabel

I dette afsnit skal vi lære om sandsynlighedstabeller. Vi begynder med et eksempel. Lad os sige at vi har en tombola. En tombola er en lille beholder med lodsedler i. Der kan være forskellige farver lodsedler. Lad os sige at der er 100 lodsedler i en tombola, og 27 af dem er røde, 13 af dem er blå, 25 af dem er gule, 5 af dem er hvide og resten er grønne.

Regning med sandsynligheder

Nogle gange har man brug for at regne med sandsynligheder. Lad os kigge på en situation:

Man kaster med en ærlig terning med seks sider. Hvad mon sandsynligheden er for at slå tre seksere i træk? Eller to?

Øvelse

Kast to gange med en terning. Fik to to seksere?

Prøv igen. Og igen.

a) Prøv i alt 100 gange og notér hver gang du får to seksere.

I øvelsen opdagede du sikkert at der var cirka 3% chance for at slå to seksere. Det er der en god grund til. Vi kan forstå, hvorfor ved at lave et tælletræ.

Øvelse

Vi tegner et tælletræ sammen i klassen.

Man kan også lave en anden tegning- På tegningen kan man se at det eneste felt, der repræsenterer to seksere, er det orange felt. Det er altså 1 ud af 36.

Konklusionen er at, hvis man har to uafhængige hændelser, så kan man finde sandsynligheden for, at begge hændelser sker, ved at multiplicere deres individuelle sandsynligheder. F.eks. kan vi regne sandsynligheden for to seksere sådan her:

En typisk eksamensopgave kunne se ud som nedenstående. Løs opgaven

Kombinatorik

I klassen har vi arbejdet med, hvor mange forskellige makkerpar man kunne lave, hvis man skulle vælge mellem fire elever. Det vist sig at være seks. Man kan regne antallat af kombinationer ud sådan her

Regnestykket kræver at man anvender fakultet. Vi har set i formelsamlingen, hvad fakultet betyder. I formelsamlingen kan man også finde Pascals trekant, der er en hurtig måde at aflæse f.eks. K(9, 4).

Forventningsværdi

Allerede i grundskolen lærte du om gennemsnit. Her på HF har du lært at gennemsnit også kaldes middelværdi. Nu skal du lære et nyt begreb: forventningsværdi. De tre begreber er i familie med hinanden, men bruges i forskellige situationer og beregningerne er også lidt forskellige.

Eksempel

Lad os sige at vi spiller et spil, hvor man kan  vinde eller tabe forskellige beløb alt efter, hvad man slå med en terning. Gevinsterne følger nedenstående tabel. I tabellen er nogle tal negative, hvilket betyder at du har tabt penge, f.eks. taber du 5 kroner, hvis du slår en 5'er og 10 kroner, hvis du slår en 2'er.

Det koster 100 kr. at være med i spillet.

Spørgsmålet er nu om man vil vinde eller tabe penge, hvis man spiller mange gange. For at svare på spørgsmålet, kan vi beregne spillets forventningsværdi. Det gøre sådan her:

I udregningen skal man bruge:

• Sandsynligheden for hvert udfald

• Værdien af hvert udfald

Skrevet som en formel ser det sådan ud:

hvor p'erne er sandsynlighederne for hver gevinst, og x'erne er gevinsternes størrelse. De tre prikker betyder at der kan være mange forskellige gevinster, så regnestykket kan blive meget langt.