Logistisk vækst

Som supplerende indhold til matematik C har jeg valgt at vi skal arbejde med logistisk vækst. Logistisk vækst er en naturlig videreudvikling af eksponentiel vækst.

I dette kapitel skal du lære om:

• Forskriften for logistisk vækst

• Grafen for logistisk vækst

• Hvad bæreevne betyder

Når bakterierne formerer sig kommer der flere og flere. Én bakterie bliver til to, og to bakterier bliver til fire, fire bakterier bliver til otte, osv. (se billedet herunder). Denne måde at formere sig på, kaldes binær fission. Under optimale forhold kan nogle bakterier dele sig på 20-30 minutter.

Hvis man tæller antallet af bakterier hver halve time vil det se ud som i tabellen herunder:

Det er sjældent at der kun er én bakterie. Ofte er der mange tusinde eller millioner. Man siger, at bakterier formerer sig eksponentielt - i hvert fald i begyndelsen. Deres hastige vækst kan dog ikke fortsætte med at være eksponentiel. På et tidspunkt er der enten ikke mere mad, eller også er det simpelthen ikke mere plads til dem. At beskrive bakterievækst med en eksponentiel model er derfor lidt urealistisk.

I stedet kan man beskrive væksten med såkaldt logistisk vækst. I logistisk vækst tager man højde for at antallet af bakterier har et maksimum. Grafen for logistisk vækst ser ud som på figuren herunder, hvor x-aksen viser tid, og y-aksen viser antal:

Forskrift

Logistisk vækst er ikke kun en graf - der er også en forskrift, eller formel. Forskriften ser således ud:

Forskriften indeholder en variabel, x, og tre bogstaver: M, c og a.

• a er et tal, der skal være mellem 0 og 1, f.eks. 0,3

• c skal være et tal større end 0, f.eks. 75

• M kaldes bæreevnen

Næste afsnit kalder om at forstå de tre bogstavers betydning i forskriften - med særligt fokus på M.

Bæreevne

Det store M, der er øverst i brøken i forskriften kaldes bæreevnen. Bæreevnen fortæller, hvad den største (eller mindste) y-værdi kan være. Lad os se sige at vi kigger på en koloni af bakterier, der vokser. Hvis M er 15.000.000, altså 15 millioner, så betyder det at der maksimalt kan være 15 mio. bakterier i kolonien. På grafen ovenfor, kan man se at bæreevnen er 160 fordi det er den y-værdi, hvor "grafen flader ud".

Begyndelsesværdi

Da vi arbejdede med eksponentielle funktioner lærte I at begyndelsesværdien var b i forskriften:

Årsagen er, at man netop får b-værdien, hvis x=0. For logistisk vækst er princippet det samme, altså x=0. Men hvad er så begyndelsesværdien? Den kan vi regne her:

Begyndelsesværdien er altså cirka bærevnen delt med c, hvis c er et stort tal.