I dette kapitel skal I lære om eksponentielle funktioner. I skal lære om:
Forskrifter for eksponentielle funktioner
Logaritmer
Fordobling og halvering
At tegne grafer
Man siger, at y er en eksponentialfunktion af x, hvis y ganges med et fast tal hver gang x vokser med 1.
Dette adskiller sig fra den lineære funktion, hvor y plusses med et fast tal hver gang x vokser med 1.
Når man ganger med et tal svarer det til at lægge en procentdel til eller trække en procentdel fra.
Hvis man lægger en procentdel til, får man en eksponentielt voksende funktion.
Hvis man trækker en procentdel fra, får man en eksponentielt aftagende funktion.
Forskriften for eksponentialfunktionen er givet ved
Her kalder man a for fremskrivningsfaktoren og b for begyndelsesværdien.
Fremskrivningsfaktoren kan man også skrive som
Her kalder man r for vækstraten, som er den procentvise ændring.
Så er
Så er
Hvis f er en eksponentialfunktion med vækstraten 2 % og begyndelsesværdien 500, så er
I en bestemt population af dyr er der 300 dyr i 2015. Efterfølgende vokser antallet af dyr med 12 % om året.
a) Vi skal indføre passende variable og opstille en model, der beskriver udviklingen af antallet af dyr i populationen i årene efter 2015.
Vi kan se, at der er tale om en eksponentialfunktion, fordi det er en procentvis vækst.
Vi beregner fremskrivningsfaktoren (a):
De passende variable skal beskrive f(x) og x.
Vi opstiller derfor udtrykket
hvor f(x) er antallet af dyr i populationen i år x efter 2015.
I skal nu løse opgaverne i dette dokument.