2015
#067 (2015-1)
講演者（所属）: 渡部善隆（九州大学情報基盤研究開発センター）
題目: 数値計算における誤差と残差
日時: 2015年1月19日（月） 16:30-18:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)
概要: コンピュータによる数値計算においては、浮動小数点演算による丸め誤差、級数展開・ 反復の打ち切り誤差、連続問題の離散化誤差など、レベルの異なる誤差が発生すること があります。本講演では、「計算の品質」の観点から、何らかの方法で得られた近似解 に対し、真の解との誤差限界を数学的に厳密に見積もる数値計算手法について、特に残 差の果たす役割に注目しながら、分かりやすく紹介できればと思います。
備考: この講演は，京都大学理学研究科3号館308室で中継されます (アクセス)．
#068 (2015-2)
講演者（所属）: 浜向直（北海道大学大学院理学研究院）
題目: Harnack inequalities for supersolutions of fully nonlinear elliptic difference and differential equations
日時: 2015年2月18日（水）14:30-16:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: 格子点上の完全非線形楕円型差分方程式の非負優解に対するハルナック型不等式について解説する。ここで導く評価式は、あらゆる優解に対して成り立つ代わりに、ハルナック定数が格子点上のグラフ距離に依存している。証明のために、弱ハルナック不等式を示すときに用いられるバリア関数の取り方を工夫する。また同じ証明のアイデアを、ユークリッド空間上の偏微分方程式に対して適用したときに得られるハルナック型不等式についても紹介したい。
備考: 通常と開催曜日，時間帯が異なります．ご注意ください．
#069 (2015-3)
講演者（所属）: 福島登志夫（国立天文台）
題目: Precise and fast computation of elliptic integrals and elliptic functions
日時: 2015年2月18日（水） 16:30-18:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: Summarized is the recent progress of the methods to compute (i) Legendre's normal form complete elliptic integrals of all three kinds, K(m), E(m), and Pi(n|m), (ii) Legendre's normal form incomplete elliptic integrals of all three kinds, F(phi|m), E(phi|m), and Pi(phi,n|m), (iii) Jacobian elliptic functions, sn(u|m), cn}(u|m), dn(u|m), and am(u|m), (iv) the inverse functions of K(m) and E(m), m_K(K) and m_E(E), (v) the inverse of a general incomplete elliptic integral in Jacobi's form, G(am(u|m),n|m), with respect to u, and (vi) the partial derivatives of sn(u|m), cn(u|m), dn(u|m), E(am(u|m)|m), and Pi(am(u|m),n|m) with respect to u and those of F(phi|m), E(phi|m), and Pi(phi,n|m) with respect to phi. In order to avoid the information loss when n << 1 and/or m << 1, focused are the associate incomplete elliptic integrals defined as B(phi|m)=[E(phi|m)-(1-m)F(phi|m)]/m, D(phi|m)=[F(phi|m)-E(phi|m)]/m, and J(phi,n|m)=[Pi(phi,n|m)-F(phi|m)]/n, and their complete versions, B(m)=[E(m)-(1-m)K(m)]/m, D(m)=[K(m)-E(m)]/m, and J(n|m)=[Pi(n|m)-K(m)]/n. The main techniques used are (i) the piecewise approximation for single variable functions as K(m), and (ii) the combination of repeated usage of the half and double argument transformations and the truncated Maclaurin series expansions with respect to u = F(phi|m). The new methods are of the full double precision accuracy without any chance of cancellation against small input arguments. They run significantly faster than the existing methods: (i) 2.5 times faster than Cody's Chebyshev polynomial approximations for K(m) and E(m), (ii) 2.5 times faster than Bulirsch's cel for Pi(n|m), (iii) slightly faster than Bulirsch's el1 for F(phi|m), (iv) 3.5 times faster than Carlson's R_D for E(phi|m), (v) 3.5 times faster than Carlson's R_C, R_D, R_F, and R_J for Pi(phi,n|m), and (vi) 1.5 times faster than Bulirsch's sncndn for sn(u|m), cn(u|m), and dn(u|m).
備考: 通常と開催曜日，教室が異なります．ご注意ください．
#070 (2015-4)
講演者（所属）: Gadi Fibich (Tel Aviv University)
題目: Asymmetric Auctions
日時: 2015年3月20日（金） 13:30-15:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 122室 (アクセス)
概要: Auctions are central to the modern economy, both on-line and off-line. A fundamental result in auction theory is that when bidders are symmetric (identical), then under quite general conditions, all auctions are revenue equivalent. While it is known that this result does not hold when bidders are asymmetric, the effect of bidders' asymmetry is poorly understood, since asymmetric auctions are much harder to analyze.
In this talk I will discuss the mathematical theory of asymmetric auctions. I will focus on asymmetric first-price auctions, where the mathematical model is given by a nonstandard system of $n$ nonlinear ordinary differential equations, with $2n$ boundary conditions and a free boundary. I will present various analytic and numerical approaches for this system. Then I will present some recent results on asymptotic revenue equivalence of asymmetric auctions.
Joint work with A. Gavious and N. Gavish備考: 通常と開催曜日が異なります．ご注意ください．今回のセミナーは，挑戦的萌芽研究（課題番号：23654052）の援助を受けています．
#071 (2015-5)
講演者（所属）: 高安亮紀（早稲田大学理工学術院）
題目: 解析半群を利用した半線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算法
日時: 2015年4月27日（月） 16:30-18:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)
概要: 本講演では半線形放物型方程式の初期値境界値問題に対する解の局所一意存在を数値的に検証する方法を述べる．我々は空間変数に対する微分作用素が解析半群を生成することに注目し，ある時間区間において数値解の近傍に解を包含するための十分条件を導いた．本十分条件の成立を精度保証付き数値計算を用いて確かめることにより，所望の結果が数値的に検証可能となる．講演では定理の詳細について説明し，本手法によってある半線形放物型方程式の時間大域解の数値存在検証が可能となることも紹介する．
備考: この講演は，京都大学理学部3号館127号室で中継されます (アクセス)．
#072 (2015-6)
講演者（所属）: 尾崎克久（芝浦工業大学システム理工学部）
題目: エラーフリー変換を用いた行列積の高精度計算
日時: 2015年5月18日（月） 16:30-18:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)
概要: すべての成分が浮動小数点数である行列の積に関して，数値計算を用いて高信頼な結果を得る手法について研究を行っている．本講演では，HPCの技術者がチューニングをした高速なライブラリを直に使用する高精度行列積アルゴリズムについて紹介したい．アルゴリズムの概要，長所と短所，エラーフリーであることの証明から解説し，区間演算への応用や最近開発できた事後保証型のアルゴリズムについても紹介したい．
備考: この講演は，京都大学理学部3号館127号室で中継されます (アクセス)．
#073 (2015-7)
講演者（所属）: 宮武勇登（名古屋大学大学院工学研究科）
題目: ハミルトン系に対する並列エネルギー保存解法
日時: 2015年6月15日（月） 16:30-18:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)
概要: 本講演では，ハミルトン系に対するエネルギー保存解法について考える． エネルギー保存解法の研究は，近年になってようやく高精度解法導出の アイデアが提案されつつあるが，高精度化には計算コストの大幅な増大を 伴う．そこで，本講演では，無段式ルンゲクッタ法と呼ばれる数値解法の エネルギー保存条件，次数条件，並列化可能条件をある行列を用いて表現 することで，並列化可能な高精度エネルギー保存解法を導出する．
備考: 他大学での中継はありません。
#074 (2015-8)
講演者（所属）: 小守良雄（九州工業大学大学院情報工学研究院）
題目: Stabilized Runge-Kutta methods for the weak approximation of solutions of stochastic differential equations
日時: 2015年6月29日（月） 16:30-18:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)
概要: （PDFファイル）We are concerned with numerical methods which give weak approximations for stiff It\^{o} stochastic differential equations (SDEs). Implicit methods are one of good candidates to deal with such SDEs. In fact, a well-designed implicit method has been recently proposed by Abdulle and his colleagues [Abdulle et al. 2013a]. On the other hand, it is well known that the numerical solution of stiff SDEs leads to a stepsize reduction when explicit methods are used. However, there are some classes of explicit methods that are well suited to solving some types of stiff SDEs. One such class is the class of stochastic orthogonal Runge-Kutta Chebyshev (SROCK) methods [Abdulle et al. 2013b]. SROCK methods reduce to Runge-Kutta Chebyshev methods when applied to ordinary differential equations (ODEs). Another promising class of methods is the class of explicit methods that reduce to explicit exponential Runge-Kutta (RK) methods [Hochbruck et al. 2005, 2010] when applied to semilinear ODEs.
In this talk, we will propose new exponential RK methods which achieve weak order two for multi-dimensional, non-commutative SDEs with a semilinear drift term. We will analytically investigate their stability properties in mean square, and will check their performance in numerical experiments.
(This is a joint work with D. Cohen and K. Burrage.)備考: この講演は，京都大学理学部3号館127号室で中継されます (アクセス)．
#075 (2015-9)
講演者（所属）: Richard Slevinsky (University of Oxford)
題目: On the Use of Conformal Maps for the Acceleration of Convergence of the Trapezoidal Rule and Sinc Numerical Methods
日時: 2015年8月6日（木） 16:00-17:30
概要: We investigate the use of conformal maps for the acceleration of convergence of the trapezoidal rule and Sinc numerical methods. The conformal map is a polynomial adjustment to the sinh map, and allows for the treatment of a finite number of singularities in the complex plane. In the case where locations are unknown, the so-called Sinc-Padé approximants are used to provide approximate results. This adaptive method is shown to have almost the same convergence properties. We use the conformal maps to generate high accuracy solutions to highly oscillatory integrals that arise in the theory of molecular integrals over exponential basis functions. The accompanying Julia software package DEQuadrature.jl for high-precision numerical quadrature is freely available online.
Joint work with Sheehan Olver.備考: 開催曜日，時間帯が，いつもと異なっておりますのでご注意ください．他大学での中継はありません。
#076 (2015-10)
講演者（所属）: Fredrik Lindgren (Osaka University)
題目: Numerical approximation of spinodal decomposition in the presence of noise
日時: 2015年10月26日（月） 16:30-18:00
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)
概要: Numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDE) has evolved to a vivid subfield of computational mathematics in the last decades. It poses new challenges both for numerical analysis and the theory of SPDE.
In this talk we will discuss the strength and weaknesses of the \emph{semigroup approach} to SPDE when it is combined with the idea of viewing a single-step method in time as a \emph{rational approximation of a semigroup}. We shall apply this framework to the stochastic Allen-Cahn equation, a parabolic semi-linear SPDE where the non-linearity is non-globally Lipschitz continuous, but has a \emph{one-sided Lipschitz condition}, and the deterministic equation has a Lyapunov functional.
We focus on semi-discretisation in time, the first step in Rothe's method, and show how the semigroup approach allows for convergence proofs under the assumption that the numerical solution admits moment bounds. However, this assumption turns out to be difficult to verify in the semi-group framework, and the rates achieved are not sharp. This is due to the fact that the one-sided Lipschitz condition, being a variational inequality, can't be utilised. We thus turn to variational methods to solve this issue.
If time admits we shall also comment on the stochastic Cahn-Hilliard equation where the non-linearity has a one-sided Lipschitz condition in a lower norm, only. However, the fact of convergence can still be proved.
This is joint work with Daisuke Furihata (Osaka University), Mih\'aly Kov\'acs (University of Otago, New Zealand), Stig Larsson (Chalmers University of Technology, Sweden) and Shuji Yoshikawa (Ehime University).備考: