2017

#085 (2017-1)

講演者（所属）: 河原田秀夫（AMSOK, 千葉大学名誉教授）
題目: 炭酸カルシウムScale（湯あか）形成の抑止原理の解明
日時: 2017年1月16日（月） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 117室 (アクセス)
概要: Scaleとはボイラなどの内側にできる湯あかのことをいう。その成分は主としてカルシウムおよびマグネシウムの硫酸塩、炭酸塩、ケイ酸塩である。ボイラ内の対流の障害になるほか、熱伝導率が小さいので伝熱量が減るばかりでなく、伝熱面の過熱破損の原因となる。古くからそれらの弊害を除去すべく種々の装置が開発されてきた。しかし、現在に至ってもそれらの決定版と言われるのは見い出し難い状況にある。
　最近、その表面にSiO2等の無機酸化物を含む球状（直径1cm程度）のセラミック球を金属銅、および金属銀の壁によって構成される円筒型の容器内に充填した装置が井川重信氏によって開発された(特許4660317号　登録日平成23年1月7日)。循環水中に上記装置を設置してセラミック球に接触させることにより、炭酸カルシウムのscale形成を抑止する。
　しかしながら、上記装置がscale形成抑止に何故有効であるか、そのメカニズムは未だ解明されていない。我々はこの現象に対して基本的仮説を提示して、その原理の解明を試みる。そのカギとなるのは炭酸カルシウム結晶の表面自由エネルギーの制御にある。この仕組みの展開には数理モデルの構築とその数値解析が重要な役割を担っている。
備考: いつもと教室が異なるのでご注意ください．今学期から，東大の時間割にあわせて，セミナーの時間帯を16:50--18:20としました．ご注意下さい．

#086 (2017-2)

講演者（所属）: 内海晋弥（早稲田大学基幹理工学部）
題目: Lagrange-Galerkin 法における諸問題とその解決策：計算可能性・粘性係数依存性・流入境界条件
日時: 2017年4月11日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: Lagrange-Galerkin法(LG法) は移流拡散問題，オセーン問題，ナヴィエ・ストークス問題などの流れ問題に対する強力な数値計算手法である．本講演では本手法に現れる諸問題とその解決策を述べる．以下の3部から成る．
(1) LGスキームの理論と実装の間には乖離が存在していた．スキームに現れる合成関数項を厳密に計算することは困難である一方，誤差評価はそれが厳密に計算されるという仮定の下でなされていた．最近我々は，ナヴィエ・ストークス問題のための，厳密に計算でき，かつ，数値解の厳密解への収束性が数学的に証明できるLGスキームを作成し，収束性を示した．本パートでは，このスキームについて述べる．
(2) 上記スキームでは，時間刻みと空間メッシュサイズに関して最適オーダーでの誤差評価が得られるが，定数には粘性係数依存性が現れる．この依存性は，ナヴィエ・ストークス問題のみならず，より簡単なストークス問題にも現れる．Pk/Pk 要素を用い，適切な安定化項を加えたスキームは，Pk/Pk−1 要素を用いたスキームと比較して，粘性係数依存性が改善できることが示されている．本パートではオセーン問題に対してその誤差評価を述べる．
(3) LGスキームにおける解析では，ほとんどの場合，流速が境界で0という条件が課されていた．講演者の知る限り，流入境界条件を持つ問題に対して，収束性は示されていない．本パートでは，流入境界条件を持つ移流拡散問題に対するあるスキームを提案し，その収束性を述べる．
(1) は田端正久先生との，(3) はH. Egger先生（ダルムシュタット工科大学）との共同研究である．
備考:

#087 (2017-3)

講演者（所属）: 榊原航也（東京大学大学院数理科学研究科）
題目: 基本解近似解法の理論と応用
日時: 2017年4月25日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: 基本解近似解法 (Method of Fundamental Solutions, MFS) は，線型同次偏微分方程式に対するメッシュフリー数値解法である． MFSのアイディアは非常に単純であり，特異点が考えている領域の外部にある，偏微分作用素の基本解の線型結合により近似解を与え，線型結合の係数は選点法(collocation method)により決定する．つまり，差分法や有限要素法とは異なって，領域のメッシュ分割が不要であり（点を配置するだけである），プログラミングも容易である．さらに，特筆すべき性質として，ある条件下では，近似誤差が点の数に関して指数的に減衰することが知られている（通常の差分法や有限要素法では，近似誤差は多項式オーダーで減衰する）．一方で，"どのような点配置の下で誤差は指数減衰するか"，という問いに対する決定的な回答は未だに与えられておらず，MFSの理論研究における最も大きな未解決問題であると言ってよい．このように，MFSに対する数学的理論整備はまだまだ発展途上であるが，数値計算の観点からの研究は非常に豊富に行われており，様々な方程式に対して有効と思われる数値計算アルゴリズムが提案されてきた．本講演では，MFSに関連して，以下のトピックを取り上げる．
(1) MFSの数学理論：今までに築き上げられきた，MFSの数学解析の結果を簡単にサーベイし，本講演者により発展した理論の解説を行う．特に，2次元のポテンシャル問題に対して，複素解析を用いた議論が非常に有効であることを示し，そこから重調和問題に理論を展開する．また，物理的観点から重要である，解の不変性について，ある統一的な手法により，非常に多くの問題に対して，MFSの不変スキームを構築できることを示す．
(2)MFSの応用：ポテンシャル問題を解くことに帰着される様々な問題に対して，高精度な数値計算アルゴリズムを構築する．特に，Hele-Shaw問題（2次元移動境界問題の1つ）に対する構造保存型数値解法の設計について解説する．さらに，最近取り組んでいる問題についても簡単に触れる予定である．
備考:

#088 (2017-4)

講演者（所属）: 野津裕史（金沢大学理工研究域）
題目: Numerical analysis of viscoelastic fluid models
日時: 2017年6月13日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: Numerical methods for viscoelastic fluid models are studied. In viscoelastic fluid models the stress tensor is often written as a sum of the viscous stress tensor depending linearly on the strain rate tensor and the extra stress tensor for the viscoelastic contribution. In order to describe the viscoelastic contribution another equation for the extra stress tensor is required. In the talk we mainly deal with the Oldroyd-B and the Peterlin models among several proposed viscoelastic fluid models, and present error estimates of finite element schemes based on the method of characteristics. The key issue in the estimates is the treatment of the divergence of the extra stress tensor appearing in the equation for the velocity and the pressure.
備考:

#089 (2017-5)

講演者（所属）: Ming-Cheng Shiue (National Chiao Tung University)
題目: Boundary conditions for Limited-Area Models
日時: 2017年7月4日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: The problem of boundary conditions in a limited domain is recognized an important problem in geophysical fluid dynamics. This is due to that boundary conditions are proposed to have high resolution over a region of interest. The challenges for proposing later boundary conditions are of two types: on the computational side, if the proposed boundary conditions are not appropriate, it is well-known that the error from the lateral boundary can propagate into the computational domain and make a major effect on the numerical solution; on the mathematical side, the negative result of Oliger and Sundstrom that these equations including the inviscid primitive equations and shallow water equations in the multilayer case are not well-posed for any set of local boundary conditions.
In this talk, three-dimensional inviscid primitive equations and (one-layer and two-layer) shallow water equations which have been used in the limited-area numerical weather prediction modelings are considered. Our goals of this work are two folds: one is to propose boundary conditions which are physically suitable. That is, they let waves move freely out of the domain without producing spurious waves; the other is to numerically implement these boundary conditions by proposing suitable numerical methods. Numerical experiments are presented to demonstrate that these proposed boundary conditions and numerical schemes are suitable.
備考:

#090 (2017-6)

講演者（所属）: 中野張（東京工業大学大学院情報理工学院）
題目: 線形・非線形放物型偏微分方程式に対するメッシュフリー選点法
日時: 2017年10月10日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: 一般に，後退確率微分方程式や確率最適制御の解は非線形放物型偏微分方程式により記述される．これらの非線形偏微分方程式の多くに対しては，滑らかさが期待できないため古典解ではなく粘性解の枠組みが採用される．よって応用のためには，解くべき偏微分方程式の粘性解に収束し，かつ多次元の問題に適用可能な数値解法が必要とされるが，既存手法の中には未だ決定的なものは存在しない状況である．
本講演では，上述の問題を解決するためにメッシュフリー選点法の適用を提案し，最近の研究成果について報告する．この目的のため，(1) 種々の確率論的問題と放物型偏微分方程式の関係の概説，(2) 粘性解の紹介，(3) 既存数値解法の紹介，(4) 動径基底関数による補間理論の紹介，(5) メッシュフリー選点法の導出，(6) 収束証明に関する結果の紹介，という流れで話を進める．
また，フィルタリング問題に現れる線形確率偏微分方程式を対象に，メッシュフリー選点法の収束が保証される動径基底関数やグリッド点の具体例について報告する．
備考: この講演は，京都大学で中継されます．

#091 (2017-7)

講演者（所属）: Christian Klingenberg (Wuerzburg University, Germany)
題目: On the numerical discretization of the Euler equations with a gravitational force and applications in astrophysics
日時: 2017年10月23日（月）16:00-17:30
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)
概要: We consider astrophysical systems that are modeled by the multidimensional Euler equations with gravity. First for the homogeneous Euler equations we look at flow in the low Mach number regime. Here for conventional finite volume discretizations one has excessive dissipation in this regime. We identify inconsistent scaling for low Mach numbers of the numerical fux function as the origin of this problem. Based on the Roe solver a technique that allows to correctly represent low Mach number flows with a discretization of the compressible Euler equations is proposed. We analyze properties of this scheme and demonstrate that its limit yields a discretization of the incompressible limit system. Next for the Euler equations with gravity we seek well-balanced methods. We describe a numerical discretization of the compressible Euler equations with a gravitational potential. A pertinent feature of the solutions to these inhomogeneous equations is the special case of stationary solutions with zero velocity, described by a nonlinear PDE, whose solutions are called hydrostatic equilibria. We present well-balanced methods, for which we can ensure robustness, accuracy and stability, since it satisfies discrete entropy inequalities. We will then present work in progress where we combine the two methods above.
備考: いつもと開催曜日と時間帯，および教室が異なります．ご注意下さい．

#092 (2017-8)

講演者（所属）: 石川歩惟（神戸大学大学院システム情報学研究科）
題目: 変分原理に基づくエネルギー保存数値解法と無制約最適化問題への応用
日時: 2017年11月14日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)
概要: 構造保存型数値解法は, 方程式のもつ力学的構造に着目し, その力学的性質を保つようにしてスキームを設計する数値計算法である. 特に, エネルギー保存則を厳密に保つような数値解法はエネルギー保存数値解法と呼ばれ, 離散勾配法などが知られている. 離散勾配法とは, 勾配の性質を引き継ぐよう定義された離散勾配と呼ばれるものをスキームに用いる方法で, この方法によるスキームは安定性に優れたものとなることが多い. その一方, 多くの場合に陰的になり, また, 解析力学における基本原理である変分原理との対応も明らかではない. また, 離散勾配自体の導出も, 容易でない場合もある.
　そこで, 我々は, 離散勾配法の枠組みに変分原理を取り入れたエネルギー保存数値解法を提案してきた. 本講演では, この手法について紹介したのち, 変分原理を活かしたエネルギー散逸系に対する方法への拡張方法について述べる. また, これと離散勾配を自動的に導出する自動離散微分という方法を組み合わせ, 無制約最適化問題の近似解法を設計する. 最後に, 最近の話題として, Lie群上でのスキーム設計手法についても述べる.

#093 (2017-9)

講演者（所属）: 小山大介（電気通信大学大学院情報理工学研究科）
題目: Hybrid discontinuous Galerkin methods for nearly incompressible elasticity problems
日時: 2017年11月28日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 117室 (アクセス)
概要: A Hybrid discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity problems has been introduced by Kikuchi et al. [Theor. Appl. Mech. Japan, vol.57, 395--404 (2009)], [RIMS Kokyuroku, vol.1971, 28--46 (2015)]. We consider to seek numerical solutions of the plane strain problem by the HDG method, especially in the case when materials are nearly incompressible, that is, when the first Lam\'e parameter $\lambda$ is large. In this talk, we consider two cases when the HDG method uses a lifting term and does not use it. When the lifting term is used, the method can be free of volumetric locking. On the other hand, when the lifting term is not used, we have to take an interior penalty parameter of order $\lambda$ as $\lambda$ tends to infinity, in order to guarantee the coercivity of the bilinear form. Taking such an interior penalty parameter causes volumetric locking phenomena. We thus conclude that the lifting term is essential for avoiding the volumetric locking in the HDG method.
いつもと教室が異なります．ご注意下さい．この講演は，京都大学で中継されます．

#094 (2017-10)

講演者（所属）: 三浦達彦（東京大学大学院数理科学研究科）
題目: Finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on an evolving surface
日時: 2017年12月19日（火） 16:50-18:20
場所: 東京大学大学院数理科学研究科 128室 (アクセス)
概要: In this talk we consider the first-order Hamilton-Jacobi equation on a given closed evolving surface embedded into the three-dimensional Euclidean space, which describes the motion of a closed curve on the evolving surface. Our aim is to give a numerical scheme and establish its convergence and an error estimate between numerical and viscosity solutions. Based on a finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on a flat domain introduced by Kim and Li (J. Comput. Math., 2015), we construct a numerical scheme on triangulated surfaces and prove its monotonicity and consistency without assuming that the triangulation is acute. Then applying these results we show the convergence of a numerical solution to a viscosity solution and an error estimate of the same order as in the case of a flat stationary domain. This talk is based on a joint work with Prof. Klaus Deckelnick (Otto von Guericke University Magdeburg) and Prof. Charles M. Elliott (University of Warwick).
いつもと教室が異なります．ご注意下さい．