2016

#077 (2016-1)

  • 講演者（所属）: Eric Chung (Chinese University of Hong Kong)

  • 題目: Staggered discontinuous Galerkin methods for the incompressible Navier-Stokes equations

  • 日時: 2016年4月4日（月） 16:30-18:00

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)

  • 概要: In this talk, we present a staggered discontinuous Galerkin method for the approximation of the incompressible Navier-Stokes equations. Our new method combines the advantages of discontinuous Galerkin methods and staggered meshes, and results in many good properties, namely local and global conservations, optimal convergence and superconvergence through the use of a local postprocessing technique. Another key feature is that our method provides a skew-symmetric discretization of the convection term, with the aim of giving a better conservation property compared with existing discretizations. We also analyze the stability and convergence of the method. In addition, we will present some numerical results to show the performance of the proposed method.

  • 備考:

#078 (2016-2)

  • 講演者（所属）: 柏原崇人 (東京大学大学院数理科学研究科)

  • 題目: 滑らかな領域における有限要素法の誤差評価について

  • 日時: 2016年4月18日（月） 16:30-18:00

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)

  • 概要: 滑らかな領域$\Omega$上の偏微分方程式を有限要素法で離散化する場合，$\Omega$をフラットな三角形で厳密に分割するのは不可能なので，$\Omega$を多角形領域 $\Omega_h$で近似した上で，$\Omega_h$に対して三角形分割や有限要素空間を考える のが一般的である．よって誤差評価を行う際には，$\Omega$と$\Omega_h$のギャッ プ，つまり「領域の摂動」を定量的に評価する必要が生じる．このような状況を考慮 した誤差評価の結果は存在するものの，標準的な手法が体系化されているとは言えな いと思われる（特に，$L^2$誤差評価に関しては驚くほど結果が少ない）．本講演で は，ポアソン方程式の(1)ノイマン問題，(2)ニーチェの方法によるディリクレ問題， をモデルケースとして，「領域の摂動」を考慮した$H^1$および$L^2$誤差評価を証明 する．他の方程式や境界条件への応用を見込んで，できるだけ一般的かつ標準的な証 明の枠組みを提案することを目標とする．

  • 備考:

#079 (2016-3)

  • 講演者（所属）: 田中健一郎（武蔵野大学工学部）

  • 題目:重み付きハーディ空間における関数近似公式および数値積分公式の設計に対するポテンシャル論的アプローチ

  • 日時: 2016年5月9日（月） 16:30-18:00

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)

  • 概要: 本発表では，重み付きハーディ空間というある解析関数の空間において，十分に高精度な関数近似公式および数値積分公式の設計法を報告する．ここで考える重み付きハーディ空間は，実軸を含む複素平面上の帯状領域で解析的で，重み関数で指定される重み付きノルムに関して有界となる関数の全体からなる空間である．この空間は，数値計算の対象となるような，一定の条件を満たす解析関数を，適当な変数変換によって変換したものの全体と見なすことができる．このような変数変換は，高精度な計算を実現するためになされる．例えば，有効な数値積分公式として知られている二重指数関数型（DE）公式では，二重指数関数型（DE）変換と呼ばれる変数変換によって，被積分関数を実軸上で二重指数関数的な減衰を持つ関数に変換することが行われる．また，有効な関数近似公式の一つであるDE-Sinc公式でもDE変換が用いられる．
    このように，重み付きハーディ空間での関数や積分の近似は基本的な問題と言えるが，この空間において「最適」な公式はそれぞれどのようなものかは，これまで一部の場合についてしか分かっていなかった．本研究では，まず関数近似に対して，一般的な重み関数の場合について，最適な公式を求める問題をポテンシャル論の方法を用いて定式化した．そして，それを近似的に解くことで公式を設計し，また，それらの公式の理論的誤差評価も与えた．これらの公式の厳密な最適性はまだ示せてはいないものの，従来のSinc公式よりも高精度になることが数値実験で観察できている．さらに，数値積分に対しても，類似の方法によって構成した関数近似公式を積分することで公式を設計した．これらについては理論的な誤差評価は得られていないが，やはり数値実験によって，従来の公式よりも高精度な公式が得られていることが観察できた．特に，重み関数が二重指数関数的な減衰を持つ場合について，設計した公式がDE公式よりも高精度となることが観察できた．本研究は，岡山友昭氏（広島市立大学），杉原正顯氏（青山学院大学）との共同研究である．

  • 備考:

#080 (2016-4)

  • 講演者（所属）: 保國惠一（筑波大学システム情報系）

  • 題目: 最小二乗問題に対する内部反復前処理とその応用

  • 日時: 2016年5月23日（月） 16:30-18:00

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)

  • 概要: 大規模最小二乗問題を解くためのクリロフ部分空間法に対する前処理法である、内部反復前処理について議論する。本前処理法は複数反復の定常反復法を用い、正規方程式に対する逐次過緩和法 (SOR法) を用いるものが効率的である。SOR内部反復を用いた左 (右) 前処理付き一般化最小残差法 (BA (AB) -GMRES) 法は、ランク落ちである場合に対しても破綻することなく最小二乗解 (線形方程式の最小ノルム解) を与える。内部反復前処理は従来の不完全行列分解型前処理よりも必要な記憶容量が少なく、悪条件およびランク落ちである最小二乗問題に対してもロバストである。
    このような内部反復前処理の応用として取り上げるのは (1) 最小二乗解ベクトル自体のノルムが最小である解 (最小ノルム最小二乗解) を求めるという一般最小二乗問題および (2) 線形計画問題に対する内点法に現れる線形方程式の求解である。(1)では二段階からなる手続きで最小ノルム最小二乗解を計算することができるが、第一段階では最小二乗解、第二段階では線形方程式の最小ノルム解を計算する必要がある。各段階でSOR内部反復前処理付きGMRES法を用いることを提案し、いくつかのテスト問題に対して従来法よりも効率的であることを数値実験で示す。(2)では内点法の反復終盤には解くべき線形方程式が非常に悪条件になる。そこで内部反復前処理を用いることで頑健な求解を実現する。この問題に現れる線形方程式に内部反復前処理を適用するための効率的な定式化を行い、ベンチマーク問題に対する数値実験で従来法に比べて本手法が頑健であることを示す。(2)はYiran Cui氏 (University College London)、土谷隆氏 (政策研究大学院大学) 、および速水謙氏 (国立情報学研究所)との共同研究である。

  • 備考:

#081 (2016-5)

  • 講演者（所属）: 鈴木厚（大阪大学サイバーメディアセンター）

  • 題目: Dissection : A direct solver with kernel detection for finite element matrices

  • 日時: 2016年6月13日（月） 16:30-18:00

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)

  • 概要: Large-scale sparse matrices are solved in finite element analyses of elasticity and/or flow problems. In some cases, the matrix may be singular, e.g. due to pressure ambiguity of the Navier-Stokes equations, or due to rigid body movements of sub-domain elasticity problems by a domain decomposition method. Therefore, it is better the linear solver understands rank-deficiency of the matrix.
    By assuming the matrix is factorized into LDU form with a symmetric partial permutation, and by introducing a threshold to postpone factorization for pseudo null pivots, solvability of the last Schur complement matrix will be examined. Usual procedure for rank-deficiency problem is based on computation of eigenvalues or singular values and an introduced threshold determines the null space. However, developed new algorithm in DOI:10.1002/nme.4729 is based on computation of residuals combined with orthogonal projections onto supposed image spaces and there is no necessary to introduce a threshold for understanding zero value in floating point. The algorithm uses higher precision arithmetic, e.g. quadruple precision, to distinguish numerical round-off errors that occurred during factorization of the whole sparse matrix from ones during the kernel detection procedure itself.
    This is joint work with François-Xavier Roux (LJLL, UPMC/ONERA).

  • 備考:

#082 (2016-6)

  • 講演者（所属）: 藤原宏志（京都大学大学院情報学研究科）

  • 題目: Towards fast and reliable numerical computations of the stationary radiative transport equation

  • 日時: 2016年7月11日（月） 16:30-18:00

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)

  • 概要: The radiative transport equation (RTE) is a mathematical model of near-infrared light propagation in human tissue, and its analysis is required to develop a new noninvasive monitoring method of our body or brain activities. Since stationary RTE describes light intensity depending on a position and a direction, a discretization model of 3D-RTE is essentially a five dimensional problem. Therefore to establish a reliable and practical numerical method, both theoretical numerical analysis and computing techniques are required.
    We firstly introduce huge-scale computation examples of RTE with bio-optical data. A high-accurate numerical cubature on the unit sphere and a hybrid parallel computing technique using GPGPU realize fast computation. Secondly we propose a semi-discrete upwind finite volume method to RTE. We also show its error estimate in two dimensions.
    This talk is based on joint works with Prof. Y.Iso, Prof. N.Higashimori, and Prof. N.Oishi (Kyoto University).

  • 備考:

#083 (2016-7)

  • 講演者（所属）: 鍾菁廣（大阪大学サイバーメディアセンター）

  • 題目: 半導体における量子流体方程式系の数値解法

  • 日時: 2016年10月31日（月） 16:50-18:20

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)

  • 概要: 本講演では, Wigner-Boltzmann方程式から階層的に導出される量子流体方程式とその数値スキームについて述べる. 量子流体方程式から階層モデルの一つである放物-楕円型の量子エネルギー輸送方程式(4モーメントQETモデル)が導出される. 運動量保存式とエネルギー保存式が同一形式に書けることに着目し, 有限体積法を基にした高精度保存スキームを開発した. さらに減速緩和法による反復解法を開発し, これにより量子効果とホットキャリア効果を伴った半導体内の電子輸送のシミュレーションを実現した. 本講演では, さらに半導体デバイスの現実問題に対する対応についても述べる.

  • 備考: 今学期から，東大の時間割にあわせて，セミナーの時間帯を16:50--18:20としました．ご注意下さい．

#084 (2016-8)

  • 講演者（所属）: Sotirios E. Notaris (National and Kapodistrian University of Athens)

  • 題目: Gauss-Kronrod quadrature formulae

  • 日時: 2016年11月21日（月） 16:50-18:20

  • 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 002室 (アクセス)

  • 概要: In 1964, the Russian mathematician A.S. Kronrod, in an attempt to estimate practically the error term of the well-known Gauss quadrature formula, presented a new quadrature rule, which since then bears his name. It turns out that the new rule was related to some polynomials that Stieltjes developed some 70 years earlier, through his work on continued fractions and the moment problem. We give an overview of the Gauss-Kronrod quadrature formulae, which are interesting from both the mathematical and the applicable point of view.
    The talk will be expository without requiring any previous knowledge of numerical integration.

  • 備考: 今学期から，東大の時間割にあわせて，セミナーの時間帯を16:50--18:20としました．ご注意下さい．