2020

#119 (2020-1)

• 講演者（所属）: Yves Antonio Brandes Costa Barbosa (Politecnico di Milano)

• 題目: Isogeometric Hierarchical Model Reduction: from analysis to patient-specific simulations

• 日時: 2020年1月20日（月） 16:50-18:20

• 場所: 東京大学大学院数理科学研究科 056室 (アクセス)

• 概要: In the field of hemodynamics, numerical models have evolved to account for the demands in speed and accuracy of modern diagnostic medicine. In this context, we studied in detail Hierarchical Model Reduction technique combined with Isogeometric Analysis (HigaMOD), a technique recently developed in [Perotto, Reali, Rusconi and Veneziani (2017)]. HigaMod is a reduction procedure used to downscale models when the phenomenon at hand presents a preferential direction of flow, e.g., when modelling the blood flow in arteries or the water flow in a channel network. The method showed a significant improvement in reducing the computational power and simulation time, while giving enough information to analyze the problem at hand. Recently, we focused our work in solving the ADR problem and the Stokes problem in a patient-specific framework. Specifically, we evaluate the computational efficiency of HigaMod in simulating the blood flow in coronary arteries and cerebral arteries. The main goal is to assess the improvement that 1D enriched models can provide, with respect to traditional full models, when dealing with demanding 3D CFD simulations. The results obtained, even though preliminary, are promising [Brandes, Barbosa and Perotto (2019); Brandes, Barbosa, Perotto and Suito (2020)].

• 備考:

#120 (2020-2)

• 講演者（所属）: 佐藤峻　(東京大学大学院情報理工学系研究科)

• 題目: 2次の保存量をもつ常微分方程式に対する線形かつ高精度な構造保存数値解法

• 日時: 2020年6月23日（火）16:30-18:00

• 開催方法: オンライン

• 概要:様々な現象のモデルとして現れる常微分方程式や発展偏微分方程式はしばしば保存量をもつ． このような系に対して，保存量を尊重した構造保存数値解法は安定性などにおいて優れることが知られており， 高精度なスキームの構成法も含めて整備されているが，一般に陰的非線形になってしまうという問題も抱えている． そこで，本研究では，保存量が2次関数で表される場合に限れば，陰的線形かつ高精度な構造保存数値解法が構成できることを示した． 2次関数で表される保存量 (2次の保存量) は，KdV方程式を含む各種の微分方程式で自然に現れるだけでなく， 近年盛んに研究されているSAV (Salar Auxiliary Variable) 法のような元の問題の変形を伴う手法においても現れるため， 提案手法は幅広い方程式に適用可能である． 講演では提案手法の構成法と精度を示す定理を紹介し，数値実験結果も報告する．
  この研究は宮武勇登氏 (大阪大学) とJohn C. Butcher氏 (The University of Auckland) との共同研究である．

• 備考: 聴講をご希望される方は， 事前参加登録ページで参加登録をお願いいたします．登録した方にのみ，講演の1時間前に，ZoomミーティングのURLを送付します． （応用数学合同オンラインセミナーのコアメンバーの方は，すでに登録済ですので，再度の登録の必要はありません）

#121 (2020-3)

• 講演者（所属）: 榊原航也 (岡山理科大学理学部)

• 題目: 界面現象の構造保存型数値解析

• 日時: 2020年6月30日（火）16:30-18:00　

• 開催方法: オンライン

• 概要: 水と油の間のように，界面は至る所に現れ，その数理解析は界面問題として盛んに研究されている．
  本講演では，界面問題のうち，（i）「結晶粒界」という具体的な問題と，（ii）「移動境界問題」という一般的な枠組みのそれぞれにおいて，ある種の構造保存型数値解法を構築し解析した結果について報告する．以下，それぞれの問題について，簡単にその問題意識と得られた結果についてまとめる．
  （i）結晶粒界の研究の大元の目的は，「結晶構造が与えられたとき，そこから結晶粒界の位置を捉える数学的な枠組みを構築できるか」というものである． そのためには数理モデルが必要となるが，本研究では，Kobayashi–Warren–Carter（KWC）エネルギーを自由エネルギーとして採用し，その勾配流として結晶粒界を検出することを考える． KWC エネルギーには，多様体 SO(3) に値をとる（重み付き）全変動エネルギーが現れ，この部分で強い特異性が生じるために数値計算が難しくなってしまう． 本講演の前半部分では，一般に滑らかな多様体に値が束縛された全変動流の数値解析の結果について報告し，その後に，現在行っている KWC エネルギーの数値解析の現状を簡単に報告したい．
  （ii）平面閉曲線に対する移動境界問題とは，ある規則（法線速度）により時々刻々と変形する閉曲線を求める問題であり，曲率流，表面拡散流，Hele-Shaw 流など，様々な重要な問題が知られている． 多くの移動境界問題は，（何かしらの）エネルギーの（何かしらの）空間上での勾配流として定式化される（すなわち，解の時間発展に従ってエネルギーが単調減少する）． よって，その勾配流の構造を活かした数値解法として構造保存型数値解法を使いたくなるのは自然な発想であると思われるが，移動境界問題のように問題領域が複雑に時間変化する場合における構造保存型数値解法の研究成果はほとんど知られていない． そこで，本講演の後半部分では，多角形曲線により界面が記述される場合の移動境界問題を扱い，エネルギー散逸構造を満たす時間離散化の方法について紹介したい． 最後には，多角形曲線ではなく滑らかな曲線により界面を記述した場合の最新の結果についてもごく簡単にご紹介する予定である．
  　（i）は上坂正晃氏（東京大学），岡本潤氏（東京大学），儀我美一氏（東京大学），田口和稔氏との共同研究，（ii）は剱持智哉氏（名古屋大学），宮武勇登氏（大阪大学）との共同研究に基づく内容であり，それぞれに関連する文献として，プレプリント [1, 2] を挙げておく．

  • [1] Y. Giga, K. Sakakibara, K. Taguchi and M. Uesaka, A new numerical scheme for discrete constrained total variation flows and its convergence, accepted by Numerische Mathematik (arXiv:1904.06105)

  • [2] K. Sakakibara and Y. Miyatake, A fully discrete curve-shortening polygonal evolution law for moving boundary problems, preprint (arXiv:1912.00545)

• 備考: 聴講をご希望される方は， 事前参加登録ページで参加登録をお願いいたします．登録した方にのみ，講演の1時間前に，ZoomミーティングのURLを送付します． （応用数学合同オンラインセミナーのコアメンバーの方は，すでに登録済ですので，再度の登録の必要はありません）

#122 (2020-4)

• 講演者（所属）: 剱持智哉（名古屋大学大学院工学研究科）

• 題目: 平面曲線の制約条件付き勾配流に対する構造保存数値解法

• 日時: 2020年7月21日（火）16:30-18:00

• 開催方法: オンライン

• 概要:　本講演では, 制約条件付きの勾配流方程式に従って運動する, 平面内の閉曲線に対する数値計算手法を取り扱う. ここでの制約条件とは, ある幾何学的な量を保存するという条件であり, 例えば, 面積保存条件付きの勾配流 (周長減少) などが対象の方程式として挙げられる. 制約条件付き勾配流は, 勾配流によるエネルギー散逸性と, 制約条件よるエネルギー保存性を同時に持つが, 本講演では, これらを同時に再現する構造保存数値計算法を構築する. さらに, 接線速度の導入による安定化についても考察する. 最後に, 赤血球の形状変化のモデル方程式として現れるHelfrich流 (面積・周長保存条件下での, 曲げエネルギーに対する勾配流) などに対する数値計算例も紹介する.

• 備考: 聴講をご希望される方は， 事前参加登録ページで参加登録をお願いいたします．登録した方にのみ，講演の1時間前に，ZoomミーティングのURLを送付します． （応用数学合同オンラインセミナーのコアメンバーの方は，すでに登録済ですので，再度の登録の必要はありません）

#123 (2020-5)

• 講演者（所属）: Buyang Li (The Hong Kong Polytechnic University)

• 題目: Convergent evolving finite element algorithms for mean curvature flow and Willmore flow of closed surfaces

• 日時: 2020年10月27日（火）16:30-18:00

• 開催方法: オンライン

• 概要:　We construct evolving surface finite element methods for the mean curvature and Willmore flow through equivalently reformulating the original equations into coupled systems governing the evolution of surface position, velocity, normal vector and mean curvature. Then we prove $H^1$-norm convergence of the proposed evolving surface finite element methods for the reformulated systems, by combining stability estimates and consistency estimates. The stability analysis is based on the matrix–vector formulation of the finite element method and does not use geometric arguments. The geometry enters only into the consistency estimates. Numerical experiments illustrate and complement the theoretical results.

  • B. Kovacs, B.Li, and C. Lubich: A convergent evolving finite element algorithm for mean curvature flow of closed surfaces. Numer. Math. 143, 797–853 (2019). https://doi.org/10.1007/s00211-019-01074-2

  • B. Kovacs, B.Li, and C. Lubich: A convergent evolving finite element algorithm for Willmore flow of closed surfaces. arXiv:2007.15257

• 備考: 聴講をご希望される方は，事前参加登録ページで参加登録をお願いいたします．登録した方にのみ，講演の1時間前に，ZoomミーティングのURLを送付します． （応用数学合同オンラインセミナーのコアメンバーの方は，すでに登録済ですので，再度の登録の必要はありません）

#124 (2020-6)

• 講演者（所属）: 佐藤寛之（京都大学大学院情報学研究科）

• 題目: 多様体上の最適化問題と共役勾配法について

• 日時: 2020年12月1日（火）16:30-18:00

• 開催方法: オンライン

• 概要:　制約付き最適化問題に対するアプローチの一つとして多様体上の最適化が近年注目を集めている．本講演では，多様体上の最適化問題として定式化される応用問題を通して研究の動機を述べた後，有用な一次法である多様体上の共役勾配法の理論と最近の展開について議論する．共役勾配法は，元来は線形方程式を解くために二次関数の最小化問題に対する解法として提案されたが，後に，より一般の目的関数をもつユークリッド空間内の最適化問題に対する解法に拡張された．この方法は特に非線形共役勾配法と呼ばれるが，さらに探索領域を多様体に拡張する際にはいくつかの工夫が必要となる．こうした工夫についてはこれまでにいくつかの異なるアプローチが提案されているが，それらを統一することで，多様体上の非線形共役勾配法の一般的な枠組みについて議論する．

• 備考: 聴講をご希望される方は， 事前参加登録ページで参加登録をお願いいたします．登録した方にのみ，講演の1時間前に，ZoomミーティングのURLを送付します． （応用数学合同オンラインセミナーのコアメンバーの方は，すでに登録済ですので，再度の登録の必要はありません）

#125 (2020-7)

• 講演者（所属）: Ming-Cheng Shiue (National Chiao Tung University)

• 題目: Iterated pressure-correction projection methods for the 2d Navier-Stokes equations based on the scalar auxiliary variable approach

• 日時: 2020年12月15日（火）16:30-18:00

• 開催方法: オンライン

• 概要:　 In this talk, the first-order iterated pressure-correction projection methods based on the scalar auxiliary variable approach is proposed and studied for the 2d Navier-Stokes equations and Boussinesq equations.
  In the literature, enormous amounts of work have contributed to the study of numerical schemes for computing the Navier-Stokes equations. In general, two of the main numerical difficulties for solving Navier-Stokes equations are the incompressible condition and the nonlinear term. One of the approaches to deal with the incompressible condition is the so-called projection. The typical projection method only needs to solve the Poisson type of equations depending on the nonlinear term's treatment, which is efficient. However, the pressure-correction projection methods suffer from the splitting error, leading to spurious numerical boundary layers and the limitation of accuracy in time. In the literature, an iterated pressure-correction projection method has been proposed to overcome the difficulty.
  As for the nonlinear term treatment, it is better to treat the nonlinear term explicitly so that one only requires to solve the corresponding linear system with constant coefficients at each time step. However, such treatment often results in a restricted time step due to the stable issue. Recently, the scalar auxiliary variable approach has been constructed to have an unconditional energy stable numerical scheme.
  In this work, a new iterated pressure-correction projection method based on the scalar auxiliary variable's simple choice is proposed. We find that this new scheme can enjoy two properties, including reducing the splitting errors and having unconditional energy stability. The proofs of the energy stability and error convergence are provided and analyzed. Finally, numerical examples are provided to illustrate the theoretical work. This is joint work with Tony Chang.

• 備考: 聴講をご希望される方は， 事前参加登録ページで参加登録をお願いいたします．登録した方にのみ，講演の1時間前に，ZoomミーティングのURLを送付します． （応用数学合同オンラインセミナーのコアメンバーの方は，すでに登録済ですので，再度の登録の必要はありません）