有限系におけるゲージ対称性の破れをどう理解するか?

2008/04/17, 2008/04/08


ハミルトニアンと秩序変数が交換しないような相転移の統計力 学には、色々と非自明なことが内包されている。


エネルギーと秩序変数を同時対角化できないので、「真空状態」 (平衡状態の絶対零度極限)を、素朴にエネルギーと秩序変数の同時固有状態に選ぶわけにはいかないからだ。


ところが、これを単純に、「とにかくエネルギー固有状態を選べばよい」と誤解している議論を見かける。特に、BECや超伝導などの、ゲージ対称性の破れが 起こるケースで、この素朴すぎる議論をしているのを、最近よく見聞きするようになった。


それではまずいので、2007年の秋に(数理解析研の小嶋先生の要請もあって)数理解析研で、2008年には高エネ研で詳しい解説をした。


いずれきちんとした論文を書くつもりではありますが、それはいつになるか分からないので、とりあえず、その原稿とスライドを公開いたします。



これらの中ではいくつかの問題を論じていますが、たとえば、2つの対立する考え方を対比しています:


A) Nの定まった孤立系を考え、その基底状態が、vacuumである。Nの異なる状態を重ね合わせるなんて、もってのほか。


B) 「Nの定まった孤立系」と、「わずかにNを環境とやりとりする系」では、実現される状態が大きく異なるので、どちらかを選ぶ必要がある。マクロ物理学と整 合するのは後者なので、よほどエキセントリックな(無限系と繋がらない)実験を想定しない限りは、後者を選ぶべし。


このAの見方に欠けているのは、マクロ物理学(特に無限体積極限)を論じるには、部分系を見れば十分である事と、部分系を見たときには、物理量(可観測量)はゲージ不変とは限らないという事実です。


僕はBが正しいと主張しています。実際、次のことが示せます:


全系は閉じていて、粒子数の定まった状態にあるとする。


それを、2つの部分系SとE(環境)に分割して考え、Eはいっさい測らないとする。


Eの粒子密度は、Sと同じでもいいし、違っていてもいい(つまり、全系は一様でもいいし、不均一でもいい)が、

Eの平均粒子数 >> Sの平均粒子数

とする。


SをさらにS1, S2に分割して考える。このとき、Sの状態として、

  |α1>|α2>

という純粋状態が可能である。(|α1>, |α2>というのは、それぞれS1, S2の純粋状態で、coherent stateを相互作用のある系に一般化したもの)この状態では、Eの粒子数は定まっていない。


なお、Sの分割の仕方は任意であり、S1', S2'に分割して考えてもよい。そのとき、

|α1>|α2>=|α1'>|α2'>

である。


ですので、しばしば耳にする次のような主張は、全て誤りです:


「BECでは、秩序変数の期待値はいつもゼロで、ただlong-range orderがあるだけだ」


「2つの系の間のsuper currentが確定している状態で、2つの系がエンタングルしていないなどというのは、あり得ない」


「どんなに系のサイズが大きくなろうとも、系の粒子数は可観測量であり、無限系もそう考えるべきだ」


「上記のAは正しいがBは間違い」