Teoria

Proportzioa

Proportzio bat bi zatikiren arteko berdintza bat baino ez da. Adibidez: 8/4 = 10/5. Baina, zatikian agertzen diren zenbakiek ez dute zertan zenbaki osoak izan, hamartarrak ere izan daitezke. Adibidez: 8/4 = 5/2'5.

Magnitude zuzenki proportzionalak

Demagun erosketak egitera joan garela eta 2 kg tomategatik 3 € ordaindu dugula, zenbat ordainduko genuke 4 kg tomate erosita? Eta kg bategatik?

Horrela pentsa dezakegu: 2 kg-tik 4 kg-ra pasatzean pisua bikoizten bada (bider bi egiten bada), ordaindutakoa ere bikoiztuko da, beraz, 2 · 3 = 6 € ordainduko dugu. Era berean, 2 kg-tik 1 kg-ra pasatzean pisua erdira murrizten bada (zati bi egiten bada), ordaindutakoa ere erdia izango da, beraz, 3 : 2 = 1,5 € ordainduko dugu.

Horrela, magnitude batean (pisua) gertatzen dena bestean (ordaindutako dirua) ere gertatzen da. Bata handiagotzen bada bestea ere bai; bata txikiagotzen bada bestea ere bai; eta neurri bereko aldaketak dituzte. Egoera horretan, magnitude zuzenki proportzionalak direla esaten da; edo, bestela esanda, bien artean proportzionaltasun zuzena dagoela.

Hain zuzen, honako proportzio hauek betetzen dira:

Pisua (kg) Dirua (€)

2 3

4 ?

1 ?

Pisua (kg) Dirua (€)

2 3

4 = 2 · 2 6 = 3 ·2

1 = 2 : 2 1'5 = 3 : 2

Horrela jarraituz atera dezakegu zenbat litzateke 6 kg tomateren balioa (bider 3 eginez), 8 kg tomaterena (bider 4 eginez)... Eta proportzioetan honakoa gertatuko da:

2/6 = 3/9

2/8 = 3/12

...

Pisua (kg) Dirua (€)

2 3

4 6

6 9

8 12

... ....

Definizioa

A magnitudea eta B magnitudea zuzenki proportzionalak direla esaten da honako hau gertatzen denean. Hartu A magnitudetik bi balio eta B magnitudetik aurrekoei dagozkioen bikoteak. Orduan, baliook ordena berean jarriz eraikitako zatikiak baliokideak dira:

A B

a₁b₁

a₂b₂

a₁ : A magnitudearen hasierako balioa

a₂ : A magnitudearen bukaerako balioa

b₁ : B magnitudearen hasierako balioa

b₂ : B magnitudearen bukaerako balioa

Proportzionaltasun zuzeneko problemak

Normalean, proportzionaltasunezko problemetan honako hau egin behar da: hiru balio ezagutzen dira eta laugarrena aurkitu behar da.

Bueltatu gaitezen hasierako problemara: nola kalkulatuko genuke 5 kg tomateren prezioa? Ez da horren begibistakoa, 5 ez baita 2ren multiplo. Badira bi modu hori ebazteko:

1. modua (unitatera laburtzea)

Atera kg baten prezioa (zati 2 eginez) eta, ondoren, prezio hori bider 5 egin, horrela 5 kg tomatek zenbat balio duten kalkulatzeko. Emaitza 7'5 € da.

Pisua (kg) Dirua (€)

2 3

1 = 2 : 2 1'5 = 3 : 2

5 = 1 · 5 7'5 = 1'5 · 5

2. modua (ekuazioa planteatzea)

Aurkitu nahi dugun datuari x deitu eta proportzionaltasun zuzenaz baliatuz, zatikien arteko ekuazioa planteatu. Hori ebazteko, zatikiak baliokideak direla kontuan hartuko dugu, beraz, biderkadura gurutzatuak berdinak izan behar dira.

Magnitude alderantziz proportzionalak

Demagun institutua margoztu behar dela eta 4 margolarik 15 egunetan egin dezaketela lan hori, zenbat denbora beharko dute 8 margolarik? Eta margolari batek?

Horrela pentsa dezakegu: 4 margolaritik 8ra pasatzean kopurua bikoizten denez (bider bi egiten denez), beharko duten denbora erdia izango da (zati bi); beraz, 15 : 2 = 7'5 egun. Era berean, 4 margolaritik 1era pasatzean, langile kopurua laurdenera murrizten denez (zati lau egiten denez), orduan beharko duten denbora laukoiztuko da (bider lau), beraz, 15 · 4 = 60 egun.

Horrela, magnitude batean (margolari kopurua) gertatzen dena bestean (egunak) ere gertatzen da, baina alderantziz. Bata handiagotzen bada bestea txikiagotzen da; bata txikiagotzen bada bestea handiagotzen da; eta neurri bereko aldaketak dituzte. Egoera horretan, magnitude alderantziz proportzionalak direla esaten da; edo, bestela esanda, bien artean alderantzizko proportzionaltasuna dagoela.

Hain zuzen, honako proportzio hauek betetzen dira:

Margolari kop. Egunak

4 15

8 ?

1 ?

Margolari kop. Egunak

4 15

8 = 4 · 2 7'5 = 15 : 2

1 = 4 : 4 60 = 15 · 4

Definizioa

A magnitudea eta B magnitudea alderantziz proportzionalak direla esaten da honako hau gertatzen denean. Hartu A magnitudetik bi balio eta B magnitudetik aurrekoei dagozkioen bikoteak. Orduan, baliook alderantzizko ordenean jarriz eraikitako zatikiak baliokideak dira:

A B

a₁b₁

a₂b₂

a₁: A magnitudearen hasierako balioa

a₂ : A magnitudearen bukaerako balioa

b₁ : B magnitudearen hasierako balioa

b₂ : B magnitudearen bukaerako balioa

Alderantzizko proportzionaltasunezko problemak

Normalean, proportzionaltasunezko problemetan honako hau egin behar da: hiru balio ezagutzen dira eta laugarrena aurkitu behar da.

Bueltatu gaitezen hasierako problemara: nola kalkulatuko genuke 10 margolarik beharko duten denbora institutua margozteko? Ez da horren begibistakoa, 10 ez baita 4ren multiplo. Badira bi modu hori ebazteko:

1. modua (unitatera laburtzea)

Atera margolari batek behar duen denbora (bider 4 eginez) eta, ondoren, denbora hori zati 10 egin, horrela 10 margolarik zenbat denbora behar duten kalkulatzeko. Emaitza 6 egun da.

Margolari kop. Egunak

1 = 4 : 4 60 = 15 · 4

10 = 1 · 10 6 = 60 : 10

2. modua (ekuazioa planteatzea)

Aurkitu nahi dugun datuari x deitu eta alderantzizko proportzionaltasunaz baliatuz, zatikien arteko ekuazioa planteatu. Kontuan izan, orain, alderantzizko proportzionaltasuna denez, zatikietako bat alderantziz idatzi behar dugula.

Ehunekoak

Ehuneko bat kopuru oso baten zatia adierazteko erabiltzen den zenbaki bat da, kopuru oso hori 100 balitz bezala hartuz. Adibidez, %15, "ehuneko hamabost", zenbakiak adierazten duena zera da: kopuru osoa 100 unitatez osatuta balego, hartzen dugun zatia 15 unitatekoa litzateke.

Adibidez, institutoan 600 ikasle daude eta horietatik 120 DBH1en daude esan beharrean, institutoan 600 ikasle daude eta %20 DBH1en daude esaten da sarritan. Horrelakoetan ez zaigu zenbakia bera interesatzen (120 ikasle), baizik eta zatiaren tamaina kopuru osoarekiko (%20).

Kopuru osoa eta zatia ezagutuz, ehunekoa lortu

Institutoan 600 ikasle daude eta 120 DBH1en daude. Zein da DBH1eko ikasleen ehunekoa? Hori kalkulatzeko proportzionaltasun zuzenaz baliatuko gara. Jarri bi zutabe: lehen magnitudea ikasle kopurua izango da eta bigarrena, berriz, ehunekoak. Orain, 600 ikasleak insitutu osoa adierazten dute, hau da, %100. Hortaz, 120 ikasle zer ehuneko diren jakiteko, zatikien arteko proportzionaltasuna planteatu behar dugu.

Ikasleak %

120 x

600 100

Beraz, DBH1eko ikasleak instituto osoaren %20 dira.

Kopuru osoa eta ehunekoa ezagutuz, zatia lortu

Demagun galdera aldrebes egiten digutela. Institutoan 600 ikasle daude eta %20 DBH1en daude. Zenbat ikasle daude DBH1n? Kasu horretan, ezezaguna, x, ikasleen zutabean egongo da baina prozedura berdina da.

Ikasleak %

x 20

600 100

Beraz, DBH1en 120 ikasle daude.

Zatia eta ehunekoa ezagutuz, kopuru osoa lortu

Bukatzeko, demagun galdera horrela egiten digutela. DBHn 120 ikasle daude eta hori instituto osoaren %20 da. Zenbat ikasle daude institutoan? Prozedura berdina da.

Ikasleak %

120 20

x 100

Beraz, instituto osoan 600 ikasle daude.

Ehunekoak, zatikiak eta zenbaki hamartarrak

Ehunekoak zatiki bezala ikus daitezke eta baita zenbaki hamartar bezala ere. Adibidez, %15 zatiki bezala 15/100 da eta zenbaki hamartar bezala, berriz, 0'15. Horrek izugarri laguntzen du kopuru oso batetik zatia kalkulatzeko, ehunekoa ematen digutenean. Esaterako, 800€-ren %15 kalkulatu nahi badugu bi era hauetara egin dezakegu:

800 · 15/100 = 120 €
800 · 0'15 = 120 €

Ehuneko berezi batzuk

Aurrekoari jarraiki, badira ehuneko oso erraz batzuk zatiki bezala ikus daitezkeenak:

%50 → 50/100 → 1/2

Beraz, %50 erdia da. Kopuru baten %50 kalkulatzeko zati bi egin dezakegu. Esaterako: 800 €-ren %50, 800 : 2 = 400 € da.

%25 → 25/100 → 1/4

Beraz, %25 laurdena da. Kopuru baten %25 kalkulatzeko zati lau egin dezakegu. Esaterako: 800 €-ren %25, 800 : 4 = 200 € da.

%20 → 20/100 → 1/5

Beraz, %20 bostena da. Kopuru baten %20 kalkulatzeko zati bost egin dezakegu. Esaterako: 800 €-ren %20, 800 : 5 = 160 € da.

%10 → 10/100 → 1/10

Beraz, %10 hamarrena da. Kopuru baten %10 kalkulatzeko zati hamar egin dezakegu. Esaterako: 800 €-ren %10, 800 : 10 = 80 € da.