Aldagaiak, zenbaki bat adierazten duten sinboloak dira. Normalean alfabetoko azken letrak erabiltzen ditugu aldagaiak adierazteko, hau da, x, y, z, p, t, s etab. Letrak oso erabilgarriak dira gure helburua zenbaki ezezagun batekin lan egin nahi badugu eta ez zenbaki zehatz batekin.

Adibidez, s aldea neurtzen duen karratu bat baldin badugu, bere azalera s·s izango da eta bere perimetroa ordea 4s.

Letrak zenbakia adierazteko erabiltzen direnez egin daitezkeen eragiketak forma berdintsuan egiten dira.

Guzti hau lantzen eta jorratzen duen matematikako arloa ALJEBRA deitzen da.

Adierazpen matematikoa bat zenbakiak eta aldagaiak nahasten dituen esaldi matematiko bat da.

Adibideak:

• 3 x
• x+3
• 2 ⋅(x − 5)
• x²-3x
• Aitorrek 80kg baldin baditu eta n kilogramo loditzen badu, bere pisua 80 + n izango da.

Monomio orok maila bat du, maila hori letrazko atalaren berretzaileen batura da.

Adibideak:

• 2x monomio bat da, 2 koefizientea da eta x zati aljebraikoa edo letrazko atala da. Bere maila ordea 1 da.
• − 3x² monomio bat da, non bere koefizientea -3 den, x zati aljebraikoa delarik eta monomioaren maila 2 dela esaten dugu.
• 5xy² monomio bat da, bere koefizientea 5 da eta zenbakizko zatia ordea xy²; amaitzeko bare maila 3 da.
• 2x + 7 adierazpen aljebraiko bat da baina ez da monomio bat, polinomio bat baizik.

Monomien batura eta kendura

Koefizienteak gehitu edo kentzen ditugu eta zati aljebraikoa aldatu gabe uzten dugu.

Bi monomio sinplifikatu daitezke beraien zati aljebraikoa berdina denea, hau da, monomio bakar itxura dutenean.

Adibidez:

• 5x + 7x = 12x
• 7ab + 2ab = 9ab

Monomioen biderkadura

Koefizienteak biderkatzen ditugu eta baina zati aljebraikoak ere (berreketen propietateak erabiliz).

Adibidez:

• 5x ⋅ 7x = 35x²
• 7a³ · 2a³ = 14a⁵

Adierazpen baten ordezkatzea

Aldagairen zenbakizko balio bat polinomioan ordezkatzean datza, honela bere balioa kalkulatzen dugu.

Adibidez:

• Ordezkatu x=2, 5x + 3 adierazpenean: 5 ⋅ 2 + 3 = 13

Gogoratu arauak eta errespetatu parentesiak, berreketak, biderketa eta zatiketak eta azkenik batuketa eta kenketak.

Parentesiak garatzea

Zenbaki bat polinomio bati biderkatzean elementuz elementu biderkatzen dugu polinomioko monomio bakoitza.

Adibidez:

• 2(x + 6) = 2x + 12
• 3(2x-7) = 6x-21
• 3x(3x+2) = 9x²+6x

Faktore komuna

Polinomio batean monomio guztietan errepikatzen den zenbakia kanpora ateratzean datza. Askotan ez du zertan zenbaki osoa izan baizik eta bere zatitzaileetako bat.

Adibidez:

• 12x + 6 = 6·2x + 6·1 = 6 (2x + 1)
• 21x - 14 = 7·3x + 7·2 = 7 (3x + 2)
• 5x² - 8x = x (5x - 8)

Ekuazio bat berdin ikurra duen adierazpen aljebraiko bat da. Ekuazioek sarritan aljebra daukate barruan. Aljebraren helburua ezezaguna (normalean x deituko duguna) askatzea da, hau da, daukagun esaldian duen balioa bilatzea da.

Adibideak:

• x = 2
• 3 = x
• 2x = 4 (Zein zenbaki bi aldiz da lau?)
• x/3 = 3 (Zein zenbakiren herena da hiru?)
• 5x+1 = 3 (Zein zenbaki bostekin biderkatu eta bat gehitu eta gero da hiru?)
• x²=4 (Zein zenbaki bere buruarekin biderkatua da 4?)

Ekuazio bat bi atalez bereizten da: eskubiko atala eta ezkerreko atala.

Eta gure helburua ezezaguna askatzea (bakarrik uztea) da. Horretarako ekuazioaren alde bietan eragiketa berdinak egingo ditugu eta honela ekuazioaren izaera ez da aldatuko baina bai itxura.

Adibidez:

• 3y - 2 = -7 ekuazioa badugu,
  • alde bietan +2 eginez ez da ezer aldatzen : 3y - 2 + 2 = -7 + 2
  • eta honela 3y bakarrik geratzen da ezkerraldean: 3y = -5
  • Jarraian alde bietan 3z zatituta, berriz ere ez dugu ezer aldatuko: 3y/3 = -5/3
  • baina ezkerraldeko atalean y bakarrik utzi dugu: y = -5/3
  • Beraz, emaitza lortu dugu!!!

Behin ekuazio bat ebatzi dugula ongi ebatzi dugun konproba dezakegu beti. Honela gure lana ongi egin dugun ikus dezakegu. Hau abantaila handia da.

Horretarako, lortutako emaitza

Adibidez:

• Aurreko ekuazioan, 3y - 2 = -7, y = -5/3 lortu dugu. Ikus dezagun benetan emaitza hori dela: