PROBABILITA'
(9 crediti)
docente: Costantino Ricciuti
per i Corsi di Laurea Triennale in
STATISTICA, ECONOMIA E SOCIETA' & STATISTICA GESTIONALE
avviso: il 10 novembre non si terrà la lezione
avviso: il 19 dicembre lezione straordinaria in aula 1 alle ore 10:00
Per ulteriori 3 crediti formativi a scelta: LABORATORIO DI PROBABILITA'
INIZIO DELLE LEZIONI: 22 settembre 2025
ORARIO DEFINITIVO DI LEZIONE :
Lunedì ore 10.00-12.00 (aula 1- piano terra)
Martedì ore 08.00 - 12.00 (aula 1- piano terra)
Mercoledì ore 14:00-16:00 (aula 2- piano terra)
ESERCIZI PER CASA :
Trovate i fogli di esercizi e le soluzioni in fondo alla pagina al seguente link.
https://sites.google.com/a/uniroma1.it/costantino-ricciuti/teaching-2020-21/probabilita-2020-21
Finora potete fare i seguenti:
foglio 1 (tutto)
foglio 2 (tutto)
foglio 3 (tutto)
foglio 4 (tutto, ma l' esercizio 10 è facoltativo)
foglio 5 (tutto)
foglio 6 (tutto)
foglio 7 (tutto)
foglio 8 (tutto)
foglio 9 (tutto)
foglio A (tutto)
foglio B (tutto)
foglio C (tutto)
foglio D (tutto)
foglio E (tutto)
foglio F (tutto)
TUTORAGGIO: Giovedì ore 12:00-14_00 (aula 1 - piano terra)
I tutors del nostro corso sono
Sara Curti
Giovanni Lorenzelli
RICEVIMENTO STUDENTI: Studio 11, primo piano, presso Viale Regina Elena 295, palazzina G. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it
LIBRI DI TESTO:
1) S. Ross, Calcolo delle probabilità
2) P. Baldi, Calcolo delle probabilità.
3) G. Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità
LETTURE CONSIGLIATE PER L'APPROFONDIMENTO:
1) L. Leuzzi, E. Marinari, G. Parisi, CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
2) E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità.
Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
Date dell'esame scritto:
22 dicembre 2025 (pre-appello)
12 gennaio 2026
5 febbraio 2026
Diario delle lezioni:
22/09/2025: Introduzione al corso. Esperimenti con esito incerto. Definizione di spazio campionario. Eventi come sottinsiemi dello spazio campionario. Operazioni tra eventi. Definizione di sigma algebra.
23/09/2025: Introduzione al concetto di probabilità, discussione sull'impostazione frequentista e sull'impostazione soggettiva. Definizione rigorosa di probabilità, mediante gli assiomi di Kolmogorov. Conseguenze degli assiomi: probabilità dell'evento complementare, probabilità dell'insieme vuoto.
Laboratorio: Elementi di calcolo combinatorio: principio fondamentale, disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni. Esempi ed applicazioni.
24/09/2025: Altre conseguenze degli assiomi: monotonia della Probabilità, formula di inclusione ed esclusione di Poincarè, disuguaglianza di Boole. Spazi di probabilità uniformi: esempi ed esercizi.
29/09/2025: Altri esercizi sugli spazi uniformi risolti mediante il calcolo combinatorio. Legge ipergeometrica. Riflessione sugli insiemi contenenti infiniti elementi: differenza tra infinità numerabile e non numerabile.
30/09/2025: Successioni di eventi, limite delle successioni monotone. Teorema: la Probabilità è una funzione continua.
Laboratorio: Ulteriori esempi di calcolo delle probabilità risolti mediante il calcolo combinatorio. Coefficiente multinomiale, permutazioni di elementi non distinti.
01/10/2025: Sigma algebra di Borel. Distribuzione uniforme su regioni di R^d, con d=1,2,3 (ovvero, calcolo della probabilità di eventi mediante rapporto di misure di Lebesgue).
06/10/2025: Eventi quasi certi e quasi impossibili. Definizione di Probabilità condizionata e dimostrazione del fatto che soddisfa gli assiomi di Kolmogorov. Legge delle probabilità composte. Esempi ed esercizi vari.
07/10/2025: Legge delle alternative . Teorema di Bayes. Esempi ed esercizi vari.
Laboratorio: Approfondimenti ed esercizi di riepilogo.
08/10/2025: Indipendenza tra due o più eventi. Differenza tra indipendenza ed incompatibilità. Eventi quasi certi o quasi impossibili sono indipendenti da ogni altro evento.
13/10/2025: Introduzione alla teoria delle variabili aleatorie. Definizione rigorosa di variabile aleatoria. Definizione di variabile discreta. Funzione di densità discreta. Esempi vari.
14/10/2025: Funzione di ripartizione per distribuzioni discrete. Definizione di valore atteso. Esempi vari.
Laboratorio: Esercizi di riepilogo.
15/10/2025: Trasformazioni di variabili discrete Y=g(X). Calcolo del valore atteso della trasformazione in due modi equivalenti. Varianza e sue proprietà. Valore atteso e varianza di Y=aX+b.
20/10/2025: Distribuzione Binomiale. Distribuzione Bernoulliana. Distribuzione di Poisson.
21/10/2025: Esperimenti Bernoulliani. Convergenza della distribuzione Binomiale alla Poisson. Esempi ed applicazioni.
22/10/2025: Distribuzione Geometrica e proprietà di mancanza di memoria. Distribuzione degenere. Distribuzione uniforme.
23/10/2025: Laboratorio: Entropia di Shannon per le distribuzioni discrete.
27/10/2025: Variabili aleatorie assolutamente continue. Densità e funzione di ripartizione. Calcolo di probabilità mediante integrali definiti.
28/10/2025: Valore atteso di variabili assolutamente continue. Esempi ed esercizi sulle variabili continue
Laboratorio: La lezione di Laboratorio è stata sostituita dal tutoraggio.
31/10/2025: Lezione di recupero. Distribuzione uniforme. Trasformazioni di variabili assolutamente continue del tipo Y=g(X).
03/11/2025: Ancora sulle trasformazioni di variabili assolutamente continue. Calcolo del valore atteso della trasformazione in due modi equivalenti. Calcolo della varianza. Valore atteso e varianza di Y=aX+b. Formula per il calcolo della densità nel caso di trasformazione strettamente monotona.
04/11/2025: Distribuzione esponenziale (con proprietà di mancanza di memoria). Funzione Gamma di Eulero e sue proprietà.
Laboratorio: Esercitazione di riepilogo.
05/11/2025: Distribuzione Gamma. Distribuzione Chi-Quadro. Distribuzione Normale o Gaussiana: definizione, dimostrazione del fatto che la densità integra ad 1, legame tra la normale standard e la normale generale, stabilità rispetto alle combinazioni lineari.
10/11/2025: La lezione non è stata svolta.
11/11/2025: Ancora sulla distribuzione normale: calcolo di valore atteso e varianza, uso della tabella dei quantili per il calcolo delle probabilità di intervalli; il quadrato di una normale standard segue una Chi quadro con 1 grado di libertà.
Laboratorio: Collegamenti tra probabilità e statistica di base: istogramma delle frequenze empiriche come approssimazione della distribuzione di probabilità teorica, media aritmetica e varianza campionaria come approssimazioni del valore atteso teorico e della varianza teorica della distribuzione.
12/11/2025: Teoria generale delle distribuzioni di probabilità. Proprietà della funzione di ripartizione (limiti, non decrescenza, continuità da destra, ecc.). Cenni sulle misture di distribuzioni.
17/11/2025: Esempi di distribuzioni miste. Momenti delle variabili aleatorie. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebyshev. Disuguaglianza di Jensen.
18/11/2025: Funzione generatrice dei momenti: definizione, calcolo per le principali distribuzioni, formula per il calcolo dei momenti, studio dei casi in cui è in corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione.
Laboratorio: Esercitazione di riepilogo.
19/11/2025: Funzione caratteristica: definizione, calcolo per le principali distribuzioni, formula per il calcolo dei momenti, corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione.
21/11/2025: (Lezione straordinaria online) Variabili doppie discrete: densità congiunta, densità marginali, densità condizionate. Criterio di indipendenza tra due variabili discrete.
24/11/2025: Ancora sulle variabili doppie discrete: trasformazioni Z= g(X,Y) e calcolo del valore atteso in due modi equivalenti, legge delle alternative e teorema di Bayes per i vettori discreti. Legge del valore atteso iterato.
25/11/2025: Variabili doppie assolutamente continue: densità congiunta, calcolo di probabilità di eventi mediante l'uso di integrali doppi. Calcolo delle marginali.
Laboratorio: Al posto del Laboratorio si è tenuto un tutoraggio.
26/11/2025: Esempi di calcolo delle marginali. Criterio di indipendenza tra due variabili assolutamente continue. Trasformazioni del tipo Z=g(X,Y) con (X,Y) assolutamente continua: esempi su come determinare la distribuzione.
27/11/2025: Laboratorio (lezione straordinaria in aula al posto del tutoraggio) Cenni sulla teoria delle simulazioni delle distribuzioni. Generazione di numeri pseudo-casuali per simulare l'Uniforme in [0,1]. Simulazione delle altre distribuzioni: come scrivere una variabile aleatoria come trasformazione di una Uniforme in [0,1].
01/12/2025: Valore atteso di Z=g(X,Y). Risultati speciali: valore atteso di Z=aX+bY+c, valore atteso del prodotto di due variabili indipendenti. Covarianza e sue proprietà.
02/12/2025: Varianza di Z=aX+bY+c. Spiegazione del concetto di densità condizionata nel caso di variabili doppie assolutamente continue. Legge delle alternative e teorema di Bayes per i vettori continui. Legge del valore atteso iterato per variabili continue.
Laboratorio: Coefficiente di correlazione tra due variabili aleatorie: significato pratico, invarianza sotto cambi di scala, dimostrazione del fatto che assume valori compresi tra -1 e 1. Collegamento con la Statistica di base: studio dei dati bivariati, covarianza empirica e coefficiente di correlazione empirico come stime della covarianza e del coefficiente di correlazione teorici.
03/12/2025: Cenni sulle variabili multiple: funzione di ripartizione congiunta, definizione rigorosa di indipendenza tra N variabili aleatorie generiche (e dimostrazione dei criteri speciali validi nel caso di variabili discrete ed assolutamente continue). Valore atteso e varianza di una combinazione lineare di N variabili generiche. Valore atteso del prodotto di N variabili indipendenti.
09/12/2025: Trasformazioni di variabili multiple. Distribuzione del massimo e del minimo di n variabili indipendenti. Distribuzione della somma di n variabili indipendenti con l'uso della funzione caratteristica e studio di alcuni risultati notevoli: somma di Poisson, somma di binomiali, somma di esponenziali, somma di Chi-quadro, somma di Gamma, somma e combinazione lineare di Normali.
Laboratorio: Esercitazione.
10/12/2025: Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione: definizione, proprietà notevoli, esempi.
15/12/2025: Teorema del limite centrale e sue applicazioni.
16/12/2025: Convergenza in probabilità. Legge debole dei grandi numeri. Legame tra la convergenza in probabilità e quella in distribuzione.
Laboratorio: Approfondimenti ed esercizi sulle convergenze. Teorema di De Moivre-Laplace.
17/12/2025: Esercizi di riepilogo.
19/12/2025: Ulteriori risultati sulla convergenza in probabilità e in distribuzione. Convergenza in media k-sima. Convergenza quasi certa. Enunciato della legge forte dei grandi numeri.