PROBABILITA' 2020-21

PROBABILITA'

(9 crediti)

per il Corso di Laurea Triennale in STATISTICA, ECONOMIA E SOCIETA'

Orario di lezione:

Lunedì ore 10.00-12.00 (aula 5)

Martedì ore 14.00 - 16.00 (aula 5)

Mercoledì ore 14.00-16.00 (aula 5)

Avviso: vi ricordo che venerdì 18 dicembre, alle ore 9.30, faremo una lezione straordinaria per la correzione degli esercizi assegnati per casa.

Avviso: a partire da questo giovedì, cambia l'orario del tutoraggio (ore 8.45-10.15)

AVVISO: A partire dal 18 novembre, verrà aggiunta un'ora alla lezione di ogni mercoledì (quindi la lezione terminerà alle ore 17 anzichè alle ore 16). Questo consentirà di recuperare le ore di lezione che abbiamo perso a causa dell'inizio posticipato del semestre.

Per ulteriori 3 crediti formativi a scelta:

Laboratorio di Probabilità (Martedì, ore 16.00-18.00, aula 5).

NB: Il link per svolgere lezioni a distanza (mediante Zoom) è il seguente:

https://uniroma1.zoom.us/j/85150252332?pwd=YVNCd0Y3RWJzRnU0WG9hM0dFMEVGZz09

Ricevimento studenti: Studio 4, primo piano, presso Viale Regina Elena 295, palazzina G. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it

Tutoraggio: Il tutor del nostro corso è la dott.ssa Costanza Giardini, la quale svolgerà esercitazioni ogni giovedì dalle ore 8.45 alle ore 10.15 al seguente link:

https://uniroma1.zoom.us/j/89858785450?pwd=b0RUamRHQTQ2QkFRMkdtNHVMQnV4QT09

Libri di testo:

P. Baldi, Calcolo delle probabilità.

G. Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità

Ulteriori letture consigliate:

1) E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità.

2) S. Ross, Calcolo delle probabilità

3) M. Brunetti, I numeri non ballano da soli. Processi aleatori e formazione di strutture (Bulzoni Editore, 2021).

Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.

Date della prova scritta:

Primo appello: 8 gennaio 2021 (ore 10, aula 5 e 6)

Primo appello bis: 27 gennaio 2021 (ore 10, aula 5)

Secondo appello: 16 febbraio 2021 (ore 14, aula 3)

Appello straordinario: 9 aprile 2021 (ore 10.30)

Terzo appello: 15 giugno 2021 (ore 10.30, aula 5)

Quarto appello: 20 luglio 2021 (ore 10.30, aula 5)

Quinto appello: 14 settembre 2021 (ore 10.30, aula 49)

Appello straordinario: 4 novembre 2021

Diario delle lezioni:

05/10/2020: Introduzione al corso. Esperimenti deterministici ed esperimenti con esito incerto. Definizione di spazio campionario. Concetto di evento come sottinsieme dello spazio campionario.

06/10/2020: Definizione di sigma-algebra. Assiomi della probabilità. Conseguenze degli assiomi (con dimostrazione), formula di inclusione ed esclusione.

Laboratorio: Principio fondamentale del calcolo combinatorio. Disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni.

07/10/2020: Spazi di probabilità uniformi. Esercizi di calcolo delle probabilità risolti mediante il calcolo combinatorio. Legge ipergeometrica.

12/10/2020: Disuguaglianza di Boole (con dimostrazione). Limiti di successioni di insiemi.

13/10/2020: La probabilità è una funzione continua (con dimostrazione).

Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti sulle applicazioni del calcolo combinatorio alla probabilità.

14/10/2020: Definizione di probabilità condizionata. Legge delle probabilità composte. La probabilità condizionata soddisfa gli assiomi di Kolmogorov (con dimostrazione)

19/10/2020: Legge delle alternative (con dimostrazione). Teorema di Bayes (con dimostrazione).

20/10/2020: Indipendenza tra due o più eventi. Eventi quasi certi e quasi impossibili.

Laboratorio: Esercizi vari sui fondamenti della probabilità. Alcuni approfondimenti: cardinalità dell'insieme delle parti, paradosso di Monty Hall.

21/10/2020: Alcuni approfondimenti teorici: cenni di teoria della misura, sigma algebra di Borel.

26/10/2020: Introduzione alla teoria delle variabili aleatorie. Variabili discrete, densità discreta e funzione di ripartizione.

27/10/2020: Valore atteso di una variabile discreta. Trasformazioni di variabili discrete Y=g(X).

Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti su probabilità condizionata, indipendenza, teorema di Bayes. Esempi su test clinici, falsi positivi e falsi negativi.

28/10/2020: Calcolo del valore atteso di una trasformazione Y=g(X) in due modi equivalenti. Varianza di una variabile discreta. Valore atteso e varianza di Y=aX+b.

02/11/2020: Studio di particolari distribuzioni discrete: uniforme, ipergeometrica, di Poisson, bernoulliana, binomiale, geometrica.

03/11/2020: Esperimenti bernoulliani, applicazioni della distribuzione binomiale e della distribuzione geometrica.

Laboratorio: Concetti di distribuzione, media e varianza dal punto di vista statistico. Applicazione della distribuzione di Poisson: modello per il conteggio di eventi rari.

04/11/2020: Ancora sugli esperimenti bernoulliani: proprietà di mancanza di memoria della distribuzione geometrica (con dimostrazione), distribuzione binomiale negativa. Approfondimenti teorici sulle variabili aleatorie.

09/11/2020: Definizione rigorosa di variabile aleatoria. Variabili assolutamente continue, densità e funzione di ripartizione.

10/11/2020: Valore atteso e varianza per le variabili assolutamente continue. Esercizi vari.

Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti sulle variabili discrete.

11/11/2020: Esempi notevoli di distribuzioni assolutamente continue: distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale (con dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria), distribuzione gamma, distribuzione normale standard.

16/11/2020: Trasformazioni di variabili aleatorie assolutamente continue: esempi vari.

17/11/2020: Teorema sul calcolo della densità nel caso di trasformazioni monotone (con dimostrazione). Casi notevoli di trasformazioni: da variabili continue si possono ottenere variabili discrete, dalla normale standard si può ottenere la chi quadro. Distribuzione normale generale, legame con la normale standard, chiusura rispetto alle combinazioni lineari.

Laboratorio: Cenni ai metodi di simulazione per le distribuzioni continue: generazione di un campione da distribuzione uniforme in (0,1), riconduzione delle altre distribuzioni ad una uniforme in (0,1) mediante trasformazione di variabile aleatoria.

18/11/2020: Ancora sulla distribuzione normale: uso della tabella per il calcolo della funzione di ripartizione e delle probabilità di intervalli. Cenni alle distribuzioni miste. Proprietà della funzione di ripartizione per una distribuzione qualsiasi (limiti, non decrescenza, continuità da destra, eccetera). Momenti delle variabili aleatorie. Diseguaglianze di Markov e Chebychev (con dimostrazione).

23/11/2020: Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica per variabili unidimensionali: definizione e calcolo per le principali distribuzioni.

24/11/2020: Alcune proprietà della funzione generatrice dei momenti e della funzione caratteristica per variabili unidimensionali, calcolo dei momenti di ordine intero, corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione.

Laboratorio: Esercitazione sulle variabili continue.

25/11/2020: Variabili doppie discrete: densità congiunta, densità marginali, densità condizionate. Criterio di indipendenza tra due variabili discrete.

30/11/2020: Trasformazioni di variabili discrete. Calcolo del valore atteso di una trasformazione in due modi equivalenti. Teorema di Bayes per vettori discreti.

01/12/2020: Vettori aleatori assolutamente continui. Densità congiunta. Funzione di ripartizione congiunta. Calcolo di probabilità di eventi mediante l'uso di integrali doppi.

Laboratorio: Approfondimenti ed esercizi sui vettori aleatori discreti.

Distribuzione multinomiale.

02/12/2020: Ancora sui vettori assolutamente continui: densità marginali, densità condizionate, criterio di indipendenza tra due variabili. Formula del tipo Bayes per vettori assolutamente continui. Definizione rigorosa di indipendenza tra due generiche variabili aleatorie e deduzione dei criteri per i vettori discreti e per quelli assolutamente continui.

07/12/2020: Trasformazioni di variabili doppie assolutamente continue. Distribuzione del massimo e del minimo di due variabili aleatorie. Calcolo del valore atteso di una trasformazione in due modi equivalenti.

09/12/2020: Valore atteso della somma di due variabili aleatorie (con dimostrazione). Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti (con dimostrazione). Covarianza tra due variabili aleatorie. Varianza della somma di due variabili aleatorie (con dimostrazione). Distribuzione della somma di due variabili indipendenti: uso della funzione caratteristica (somma di due Poisson, di due binomiali, di due esponenziali, di due normali).

14/12/2020: Ancora sulla distribuzione della somma di due variabili indipendenti: cenni alla formula di convoluzione. Cenni sulle variabili aleatorie multiple: distribuzione congiunta, indipendenza, valore atteso e varianza della somma di variabili, valore atteso del prodotto di variabili indipendenti, matrice di covarianza, distribuzione della somma di variabili indipendenti mediante l'uso della funzione caratteristica.

15/12/2020: Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione: definizione, esempi ed alcune proprietà.

Laboratorio: Esempi ed applicazioni sui limiti delle distribuzioni. Convergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione di Poisson.

16/12/2020: Teorema del limite centrale (con dimostrazione) ed esempi delle sue applicazioni. Convergenza in probabilità: definizione ed alcune proprietà.

18/12/2020: Laboratorio: Correzione dei problemi assegnati per casa.

21/12/2020: Legge debole dei grandi numeri (con dimostrazione) ed alcune sue applicazioni.

22/12/2020: Convergenza quasi certa, enunciato della legge forte dei grandi numeri. Giustificazione dell'impostazione frequentista della probabilità. Cenni sulle convergenze di successioni di vettori aleatori.

Laboratorio: Alcune applicazioni riguardanti le convergenze di variabili aleatorie.

NB: Potete svolgere il foglio F (entro oggi metterò anche le soluzioni). Inoltre, potete completare i fogli 8 e 9 (tranne esercizio 4 del foglio 9, perchè non abbiamo fatto il coefficiente di correlazione).