PROBABILITA'
(9 crediti)
docente: Costantino Ricciuti
per i Corsi di Laurea Triennale in
STATISTICA, ECONOMIA E SOCIETA' & STATISTICA GESTIONALE
e per il Corso di Laurea Magistrale in SCIENZE STATISTICHE
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AVVISO: L'APPELLO DI RECUPERO PER LA SESSIONE DI OTTOBRE-NOVEMBRE SI TERRA' IL 20 OTTOBRE 2023 ALLE ORE 14 IN AULA 1 - PIANO TERRA
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Attenzione: potete trovare tutti gli altri avvisi e le comunicazioni in fondo a questa pagina, dopo il Diario delle lezioni.
Orario di lezione:
Lunedì ore 10.00-12.00 (aula 1- piano terra)
Martedì ore 10.00 - 12.00 (aula 1- piano terra)
Mercoledì ore 08.00-10.00 (aula 1- piano terra)
Per ulteriori 3 crediti formativi a scelta:
Laboratorio di Probabilità (Martedì, ore 08.00-10.00, aula 1 - piano terra).
Ricevimento studenti: Studio 4, primo piano, presso Viale Regina Elena 295, palazzina G. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it
TUTORAGGIO: I tutors del nostro corso sono
Francesco Virgili
dott.ssa Myriam Vitulano
Libri di testo:
P. Baldi, Calcolo delle probabilità.
G. Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità
Ulteriori letture consigliate:
1) E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità.
2) S. Ross, Calcolo delle probabilità
Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
Date dell'esame scritto:
13 gennaio 2023
27 gennaio 2023
17 febbraio 2023
17 marzo 2023 (ore 10, aula 1, appello straordinario, non riservato agli studenti in corso del secondo anno)
26 maggio 2023
27 giugno 2023
24 luglio 2023
14 settembre 2023
20 ottobre 2023 (appello straordinario)
Diario delle lezioni:
19/09/2022: Introduzione al corso. Richiami di teoria degli insiemi. Cardinalità di un insieme, concetto di infinità numerabile e non numerabile. Insieme delle parti. Definizione di sigma algebra ed esempi.
20/09/2022: Sigma algebra di Borel. Definizione di misura. Alcuni esempi, tra cui la misura di Lebesgue.
Laboratorio: Principio fondamentale del calcolo combinatorio. Disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni. Coefficiente binomiale. Coefficiente multinomiale.
21/09/2022: Introduzione al concetto di Probabilità. Esperimenti deterministici ed esperimenti con esito incerto. Definizione di spazio campionario. Concetto di evento come sottinsieme dello spazio campionario. Sigma algebra degli eventi. La Probabilità è una misura: assiomi di Kolmogorov.
27/09/2022: Conseguenze degli assiomi di Kolmogorov (tra cui la monotonia della Probabilità, la formula di inclusione es esclusione di Poincarè, la disuguaglianza di Boole).
Laboratorio: Approfondimenti ed esercizi di calcolo combinatorio.
28/09/2022: Spazi di probabilità uniformi. Esercizi di calcolo delle probabilità risolti mediante il calcolo combinatorio. Legge ipergeometrica.
03/10/2022: Misura di probabilità uniforme nel caso in cui lo spazio campionario contenga un continuo di elementi. Limiti di successioni di eventi: il caso delle successioni monotone.
04/10/2022: Limite superiore ed inferiore per generiche successioni di eventi. Esistenza del limite. Teorema: la probabilità è una funzione continua.
Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti sulle applicazioni del calcolo combinatorio alla probabilità. Esempi sul gioco del lotto e sul gioco del poker. Paradosso dei compleanni.
05/10/2022: Definizione di probabilità condizionata ed esempi vari. Dimostrazione del fatto che la probabilità condizionata soddisfa gli assiomi di Kolmogorov.
10/10/2022: Regola delle probabilità composte. Legge delle alternative. Teorema di Bayes.
11/10/2022: Indipendenza tra due o più eventi. Differenza tra indipendenza ed incompatibilità. Osservazioni sul caso di eventi quasi certi o quasi impossibili.
Laboratorio: Esercizi ed esempi vari su probabilità condizionata, legge delle alternative e teorema di Bayes.
12/10/2022: Esempi ed esercizi sull' indipendenza tra eventi. Introduzione al concetto di variabile aleatoria e relativi esempi.
17/10/2022: Variabili aleatorie discrete: densità e funzione di ripartizione.
18/10/2022: Valore atteso di variabili discrete. Trasformazioni di variabili discrete del tipo Y=g(X) : come trovare la distribuzione di Y, calcolo del valore atteso di Y in due modi equivalenti.
Laboratorio: Altri esercizi su probabilità condizionata, indipendenza, legge delle alternative e teorema di Bayes. Paradosso di Monty Hall. Problema su test clinici, falsi positivi e falsi negativi.
19/10/2022: Varianza di una variabile discreta. Valore atteso e varianza di trasformazioni Y=aX+b. Casi notevoli di distribuzioni discrete: degenere, binomiale, geometrica.
24/10/2022: Esperimenti bernoulliani, applicazioni della binomiale e della geometrica. Distribuzione di Poisson e suo utilizzo come approssimazione della binomiale.
25/10/2022: Esempi ed esercizi sugli esperimenti bernoulliani. Proprietà di mancanza di memoria della distribuzione geometrica. Distribuzione uniforme discreta.
Laboratorio: Applicazione della distribuzione di Poisson ad un modello di conteggio di eventi rari (ovvero, trattazione euristica del Processo di Poisson). Esercizi sulle variabili discrete. Breve discussione sull'interpretazione del valore atteso come prezzo equo e sul paradosso di San Pietroburgo.
26/10/2022: Distribuzione di Bernoulli, variabile aleatoria indicatrice di un evento. Distribuzione ipergeometrica. Discussione sulle variabili aleatorie che possono assumere un'infinità non numerabile di valori. Variabili continue. Variabili assolutamente continue: definizione euristica, proprietà della densità di probabilità, esempi di calcolo delle probabilità di eventi mediante calcolo di integrali.
02/11/2022: Ancora sulle variabili assolutamente continue: funzione di ripartizione, valore atteso, varianza.
07/11/2022: Distribuzione uniforme. Distribuzione esponenziale (con dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria). Funzione Gamma e sue proprietà. Distribuzione Gamma.
08/11/2022: Trasformazioni di variabili assolutamente continue. Formula per il calcolo della densità nel caso di trasformazioni strettamente monotone.
Laboratorio: Esercitazione sulle variabili continue.
09/11/2022: Distribuzione Normale (o Gaussiana). Dimostrazione del fatto che la densità integra ad 1. Legame tra la Normale generale e la Normale standard. Calcolo di valore atteso e varianza. Dalla Normale standard alla Chi quadrato con 1 grado di libertà.
14/11/2022: Ancora sulla distribuzione Gaussiana: uso della tabella per calcolare le probabilità di intervalli. Cenni su alcune distribuzioni continue di notevole interesse in Statistica: distribuzione Chi quadrato, distribuzione t- Student, distribuzione Beta. Approfondimenti ed esercizi di riepilogo.
15/11/2022: Teoria generale delle variabili aleatorie e delle distribuzioni di probabilità: definizione rigorosa di variabile aleatoria, enunciato e dimostrazione delle proprietà della funzione di ripartizione (limiti, non decrescenza, continuità da destra, eccetera).
Laboratorio: Entropia delle distribuzioni di probabilità.
16/11/2022: Cenni sulle misture di distribuzioni. Distribuzioni miste ottenute mediante una mistura tra una discreta e una assolutamente continua.
21/11/2022: Momenti di una distribuzione. Funzione generatrice dei momenti.
22/11/2022: Breve ripasso sui numeri complessi e sulle funzioni complesse. Funzione caratteristica di una distribuzione di probabilità.
Laboratorio: Esercizi riguardanti il calcolo della funzione generatrice dei momenti per le principali distribuzioni, e il loro utilizzo per ricavare valore atteso e varianza.
23/11/2022: Introduzione alla teoria delle variabili doppie. Variabili doppie discrete: densità congiunta, densità marginali, densità condizionate, criterio di indipendenza.
28/11/2022: Esempi ed applicazioni sulle variabili doppie discrete. Teorema di Bayes per vettori discreti. Trasformazioni del tipo Z=g(X,Y) e calcolo del loro valore atteso in due modi equivalenti.
29/11/2022: Introduzione alle variabili doppie assolutamente continue. Densità congiunta. Calcolo della probabilità di regioni del piano mediante l'uso di integrali doppi.
Laboratorio: Esercizi ed applicazioni sulle variabili doppie discrete. Esercizi di ripasso sulle variabili continue.
30/11/2022: Ancora esempi su calcoli di probabilità mediante l'uso di integrali doppi. Densità marginali, criterio di indipendenza, densità condizionate.
05/12/2022: , Esercizi su indipendenza, densità marginali, densità condizionate. Formula del tipo Bayes per vettori assolutamente continui. Distribuzione congiunta uniforme.
06/12/2022: Trasformazioni di variabili doppie continue: metodo per trovare la distribuzione di Z= g(X,Y), calcolo del suo valore atteso in due modi equivalenti. Distribuzione del massimo e del minimo di due variabili aleatorie.
Laboratorio: Alcuni legami tra la Probabilità e la Statistica di base: istogrammi delle frequenze relative come approssimazioni delle densità, media campionaria come approssimazione del valore atteso, varianza campionaria come approssimazione della varianza della distribuzione.
07/12/2022: Teoria generale delle distribuzioni congiunte: funzione di ripartizione congiunta, definizione rigorosa di indipendenza tra due variabili aleatorie qualsiasi (e dimostrazione dei criteri di indipendenza nei casi speciali di vettori discreti ed assolutamente continui). Valore atteso della combinazione lineare di due generiche variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due generiche variabili aleatorie indipendenti fra loro.
12/12/2022: Covarianza tra due variabili aleatorie: definizione e proprietà. Cenni sulla teoria delle variabili multiple (funzione di ripartizione congiunta, densità congiunta, indipendenza, valore atteso e varianza della somma, eccetera).
13/12/2022: Funzione caratteristica della somma di variabili indipendenti. Distribuzione della somma di variabili indipendenti in alcuni casi notevoli (somma di Poisson, di binomiali, di esponenziali, di normali, eccetera). Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione: definizione, esempi ed alcune proprietà.
Laboratorio: Coefficiente di correlazione: definizione e dimostrazione di alcune sue proprietà che lo differenziano dalla covarianza (invarianza sotto cambio di scala, valori compresi tra -1 e 1, eccetera). Collegamento con la Statistica di base: la covarianza e il coefficiente di correlazione sono stimati da covarianza campionaria e coefficiente di correlazione campionario.
14/12/2022: Approfondimenti ed esercizi sulla convergenza in distribuzione. Teorema del limite centrale: enunciato, spiegazione del suo significato, esempi di applicazioni.
19/12/2022: Dimostrazione del teorema del limite centrale. Convergenza in probabilità: definizione, spiegazione del significato ed enunciato delle principali proprietà.
20/12/2022: Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge debole dei grandi numeri.
Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti sulle convergenze di variabili aleatorie.
21/12/2022: Convergenza in media k-sima. Convergenza quasi certa. Enunciato della legge forte dei grandi numeri.
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ELENCO DEGLI AVVISI
AVVISO: domani 21 dicembre si terrà l'ultima lezione di Probabilità nel consueto orario (dalle 8:15 alle 10:00).
Inoltre, domani pomeriggio, alle ore 14 in aula 2, si terrà il tutoraggio con Francesco Virgili, il quale proporrà la simulazione di un esame scritto.
AVVISO: Vi ricordo che domani 20 dicembre invertiremo l'ordine delle lezioni di Probabilità e Laboratorio. Quindi faremo così:
Probabilità (ore 8-10)
Laboratorio (ore 10-12)
Durante la lezione di Laboratorio faremo esercizi, senza spiegare cose nuove.
Avviso: oggi 7 dicembre il tutoraggio della dott.ssa Vitulano si terrà alle ore 16 in aula 34 al quarto piano di Scienze Statistiche (anzichè nell'aula di mercoledì scorso)
AVVISO: La lezione di domani mattina, mercoledì 30 novembre, si terrà in aula C di Scienze Politiche (a piano terra, abbastanza vicina all'aula Gini, facilissima da trovare).
AVVISO: LA LEZIONE DI LABORATORIO DEL 22 NOVEMBRE AVRA' INIZIO ALLE ORE 9 INVECE CHE ALLE ORE 8.15.
Avviso: nella sessione di gennaio-febbraio, ci saranno in tutto 3 date a disposizione per l'esame scritto.
Avviso: Lunedì 14 novembre la lezione verrà svolta dalle ore 12 alle ore 14 (sempre in aula 1-piano terra) anzichè nel consueto orario 10-12.
AVVISO: lunedì 31 ottobre 2022 la lezione non verrà svolta.
AVVISO: Potete trovare gli esercizi nella pagina del corso di due anni fa, cioè il corso Probabilità 2020-21, all'indirizzo
https://sites.google.com/a/uniroma1.it/costantino-ricciuti/teaching-2020-21/probabilita-2020-21
AVVISO: ogni mercoledì, dalle ore 14 alle ore 16, in aula 2, si terrà il tutoraggio di Probabilità
AVVISO: VI RICORDO CHE LUNEDI' 26 SETTEMBRE NON SI SVOLGERANNO LE LEZIONI.