Corso di
PROBABILITA' E STATISTICA
(6 crediti)
Docente: Costantino Ricciuti
Orario di lezione: Lunedì ore 10.15 - 12.45 (aula 7)
Venerdì ore 10.15 - 12.45 (aula 10)
Esercitazioni di riepilogo: In accordo con gli studenti, talvolta potrebbero aver luogo delle esercitazioni di riepilogo il mercoledì mattina. Si raccomanda, quindi, di controllare frequentemente questa pagina web per eventuali comunicazioni a riguardo.
Ricevimento studenti: Studio 5, primo piano. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it
Libro di testo: "Calcolo delle probabilità" di Sheldon Ross.
In alternativa, si consiglia il libro di Paolo Baldi "Calcolo delle Probabilità". In entrambi i casi, bisogna integrare con 2 capitoli del libro "Probabilità e Statistica" di Sheldon Ross .
Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
Date degli esami scritti:
Pre-appello: 17 dicembre 2018, ore 10.00 (aula 5 e aula 7)
Primo appello: 23 gennaio 2019, ore 14.00 (aula 15)
Secondo appello: 14 febbraio 2019 ore 14.00 (aula 2)
Appello straordinario (*): 20 marzo 2019 ore 14.00 (aula 2)
Terzo appello: 4 giugno 2019 ore 14.00 (aula 10)
Quarto appello: 8 luglio 2019 ore 14.00 (aula 10)
Quinto appello: 17 settembre 2019 ore 14.00 (aula 10)
Appello straordinario (*): 4 novembre 2019 ore 14.30 (aula 7)
(*) L'appello straordinario non è riservato agli studenti in corso.
Diario delle lezioni:
26/09/2018: Esperimenti con esito incerto. Definizione di spazio campionario. Concetto di evento come sottinsieme dello spazio campionario. Definizione di sigma-algebra. Assiomi della probabilità. Conseguenze degli assiomi (con dimostrazione). Esempi vari.
28/09/2018: Disuguaglianza di Boole e formula di inclusione-esclusione (con dimostrazione solo nel caso di due eventi). Spazi di probabilità uniformi. Esercizi. Principio fondamentale del calcolo combinatorio. Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni. Esercizi su spazi di probabilità uniformi, risolti mediante il calcolo combinatorio. Legge ipergeometrica.
01/10/2018: Definizione di probabilità condizionata. Regola della catena (o del prodotto). Esempi ed esercizi. La probabilità condizionata soddisfa gli assiomi di Kolmogorov: dimostrazione. Legge delle alternative: enunciato, dimostrazione, esempi.
05/10/2018: Teorema di Bayes: enunciato, dimostrazione, esempi. Indipendenza tra due o più eventi: definizione ed esempi.
08/10/2018: Esercitazione di riepilogo.
12/10/2018: Definizione di variabile aleatoria. Variabili discrete. Densità discreta e funzione di ripartizione. Valore atteso di variabile discreta.
15/10/2018: Trasformazioni di variabili discrete Y=g(X): calcolo della distribuzione, calcolo del valore atteso in due modi equivalenti (dimostrazione dell'equivalenza). Varianza di una variabile discreta. Valore atteso e varianza di Y=aX+b. Distribuzione uniforme discreta. Distribuzione di Poisson (con qualche cenno al modello del conteggio di eventi rari).
19/10/2018: Esperimenti bernoulliani. Distribuzione binomiale. Distribuzione geometrica (con dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria). Esempi vari.
22/10/2018: Variabili aleatorie assolutamente continue: densità di probabilità, funzione di ripartizione. Valore atteso e varianza per le variabili continue. Distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale (con dimostrazione della proprietà della mancanza di memoria).
26/10/2018: Trasformazioni di variabili aleatorie continue: esempi ed esercizi. Distribuzione gaussiana standard (dimostrazione del fatto che la densità integra ad 1, calcolo di media e varianza). Distribuzione gaussiana generale, ottenuta come trasformazione di una gaussiana standard.
29/10/2018: Esercitazione di riepilogo.
05/11/2018: Ancora sulla distribuzione gaussiana: uso della tabella per il calcolo della funzione di ripartizione. Diseguaglianze di Markov e Chebychev (con dimostrazione).
Introduzione alle variabili doppie discrete: densità discreta congiunta, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, indipendenza tra due variabili aleatorie, esempi ed esercizi.
09/11/2018: Trasformazioni di variabili aleatorie discrete Z=g(X,Y). Calcolo del valore atteso in due modi equivalenti (con dimostrazione dell'equivalenza). Esercizi sulle variabili doppie discrete.
Definizione di variabile doppia assolutamente continua: densità congiunta e deduzione delle densità marginali.
12/11/2018: Calcolo delle densità marginali e delle densità condizionate. Indipendenza tra variabili aleatorie; criteri di indipendenza per variabili discrete e continue. Esercizi vari sulle variabili doppie continue.
16/11/2018: Valore atteso della trasformazione Z=g(X,Y). Valore atteso della somma di due generiche variabili aleatorie (con dimostrazione). Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti. Covarianza tra due variabili aleatorie, significato e proprietà. Varianza della somma di due variabili aleatorie (con dimostrazione). Coefficiente di correlazione e sue proprietà. Il coefficiente di correlazione è invariante per cambi di scala ed è compreso tra -1 e 1 (con dimostrazione).
19/11/2018: Prima parte: esercitazione di riepilogo. Seconda parte: Trasformazioni di variabili doppie continue, esempi vari.
23/11/2018: Cenni ai vettori aleatori n-dimensionali. Funzione caratteristica di una variabile aleatoria univariata e sue proprietà. Uso delle funzioni caratteristiche per determinare la distribuzione di somme di variabili indipendenti: somma di Poisson, di gaussiane, di binomiali. Teorema del limite centrale: enunciato euristico ed esempi di applicazioni.
26/11/2018: Definizione di convergenza in distribuzione. Teorema del limite centrale: enunciato rigoroso e dimostrazione. Definizione di convergenza in probabilità. Legge debole dei grandi numeri: enunciato, dimostrazione ed esempi. Impostazione frequentista della probabilità.
30/11/2018: Introduzione alla Statistica. Cenni di Statistica descrittiva: popolazione, campione osservato, istogrammi, media campionaria e varianza campionaria. Le statistiche media campionaria e varianza campionaria sono, rispettivamente, stimatori del valore atteso e della varianza della popolazione. Concetto di inferenza parametrica e non parametrica.
03/12/2018: Inferenza parametrica. Funzione di verosimiglianza. Stimatori e stime di massima verosimiglianza: esempi vari. Correttezza e consistenza degli stimatori.
05/12/2018: Esercitazione di riepilogo.
07/12/2018: Altri esercizi sugli stimatori di massima verosimiglianza. Inferenza per popolazioni normali: distribuzione esatta della media campionaria, intervallo di confidenza per il valore atteso (supponendo nota la varianza).
Un consiglio su come studiare per l' esame: leggete questo racconto e rifletteteci sopra.
Marco Polo descrive un ponte, pietra per pietra.
- Ma qual è la pietra che sostiene il ponte? - chiede Kublai Khan.
Il ponte non è sostenuto da questa o quella pietra, - risponde Marco, ma dalla linea dell'arco che esse formano. Kublai Khan rimane pensieroso, riflettendo. Poi soggiunge: - Perché mi
parli delle pietre? E' solo dell'arco che m'importa. Polo risponde: - Senza pietre non c'è arco.
N.B: Vi avviso che il foglio 6 contiene esercizi di ripasso su argomenti precedenti , tra cui le distribuzioni discrete (binomiale, geometrica....) e le distribuzioni continue univariate. Inoltre, il livello degli esercizi del foglio 6 è un pò più alto del solito...si consiglia pertanto di svolgerlo dopo aver fatto un accurato ripasso degli argomenti in questione.
N.B: Tra i files allegati, trovate due pdf con i capitoli del Ross riguardanti la parte di Statistica. Vi potrebbero servire solo per un eventuale approfondimento culturale. In questi files c'è anche la roba su funzione di verosimiglianza, intervalli di confidenza, ecc ecc. Ovviamente saltate ciò che non è in programma.