PROBABILITA'
(9 crediti)
per i Corsi di Laurea Triennale in
STATISTICA, ECONOMIA E SOCIETA'
& STATISTICA GESTIONALE
Avvisi importanti:
1) La prova scritta del 4 novembre 2022 si terrà alle ore 14 in aula 6 al quarto piano.
2) Lunedì 20 dicembre faremo una lezione straordinaria alle ore 14 in aula 1-piano terra, per recuperare la lezione che abbiamo perso martedì scorso.
3) Il prossimo tutoraggio si terrà martedì 21 dicembre alle ore 12 in aula 2. Il link zoom del tutor è https://uniroma1.zoom.us/j/9432724122
Altri avvisi:
1) Sono a disposizione i fogli di esercizi per casa, che potete trovare nella pagina Probabilità 2020-21 in questo stesso sito. Potete svolgere tutti i fogli: foglio 1,2,3,4,5,6,7,8,9, foglio A,B,C,D,E,F.
2) Ogni lezione viene registrata su zoom, ma la registrazione verrà cancellata dopo 3 o 4 giorni. Pertanto, chi non ha potuto seguire la lezione deve affrettarsi a farlo.
Orario di lezione:
Lunedì ore 10.00-12.00 (aula 1- piano terra)
Martedì ore 10.00 - 12.00 (aula 1- piano terra)
Mercoledì ore 08.00-10.00 (aula 1- piano terra)
Per ulteriori 3 crediti formativi a scelta:
Laboratorio di Probabilità (Martedì, ore 08.00-10.00, aula 1 - piano terra).
Lezioni a distanza: Il link per seguire le lezioni a distanza (mediante Zoom) è il seguente:
https://uniroma1.zoom.us/j/85150252332?pwd=YVNCd0Y3RWJzRnU0WG9hM0dFMEVGZz09
Ricevimento studenti: Studio 4, primo piano, presso Viale Regina Elena 295, palazzina G. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it
TUTORAGGIO: I tutors del nostro corso sono
1) dott. Lorenzo Cristofaro
2) Marco Rossi
Il prossimo tutoraggio si terrà martedì 21 dicembre alle ore 12 in aula 2. Il link zoom del tutor Lorenzo Cristofaro è https://uniroma1.zoom.us/j/9432724122
Il link Zoom del tutor Marco Rossi è
https://uniroma1.zoom.us/j/2897561660?pwd=L0lDMlBodnJ2YmJvTld5VHFFYWNOQT09
Libri di testo:
P. Baldi, Calcolo delle probabilità.
G. Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità
Ulteriori letture consigliate:
1) E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità.
2) S. Ross, Calcolo delle probabilità
3) M. Brunetti, I numeri non ballano da soli. Processi aleatori e formazione di strutture (Bulzoni Editore, 2021).
Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
Date della prova scritta:
Per le date di gennaio-febbraio, consultare la pagina seguente: https://sites.google.com/a/uniroma1.it/costantino-ricciuti/date-esame-scritto-e-modalit%C3%A0-di-iscrizione
Per la sessione straordinaria: 5 aprile 2022
Per la sessione di giugno- luglio: 1 giugno 2022 (ore 10, aula 2), 19 luglio 2022 (ore 10.30, aula 2)
Per la sessione di settembre: 14 settembre ore 14 in aula 1 al piano terra.
NB: L'appello straordinario (che non è riservato agli studenti in corso) si terrà il 5 aprile 2022 alle ore 14 nelle aule 5 e 6 al quarto piano.
Diario delle lezioni:
20/09/2021: Introduzione al corso. Esperimenti deterministici ed esperimenti con esito incerto. Definizione di spazio campionario. Concetto di evento come sottinsieme dello spazio campionario.
21/09/2021: Definizione di sigma-algebra. Assiomi della probabilità. Prime conseguenze degli assiomi (con dimostrazione)
Laboratorio: Principio fondamentale del calcolo combinatorio. Disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni.
22/09/2021:, Altre conseguenze degli assiomi: formula di inclusione ed esclusione, disuguaglianza di Boole (con dimostrazione). Spazi di probabilità uniformi. Esercizi di calcolo delle probabilità risolti mediante il calcolo combinatorio.
27/09/2021: Altri esercizi di probabilità risolti mediante il calcolo combinatorio. Legge ipergeometrica.
28/09/2021: Limite superiore ed inferiore per una successione di insiemi. La probabilità è una funzione continua (con dimostrazione).
Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti sulle applicazioni del calcolo combinatorio alla probabilità. Coefficiente multinomiale. Paradosso dei compleanni.
29/09/2021: Approfondimenti teorici riguardanti il caso in cui lo spazio campionario contiene un continuo di elementi. Sigma algebra di Borel. Concetto di spazio uniforme nel caso continuo.
4/10/2021: Eventi quasi certi e quasi impossibili. Definizione di probabilità condizionata. Legge delle probabilità composte.
5/10/2021: La probabilità condizionata soddisfa gli assiomi di Kolmogorov (con dimostrazione). Legge delle alternative (con dimostrazione). Teorema di Bayes (con dimostrazione).
Laboratorio: Ulteriori esercizi ed applicazioni sui fondamenti della probabilità e sul calcolo combinatorio.
6/10/2021: Indipendenza tra due o più eventi. Esempi ed esercizi.
11/10/2021: Ancora sull'indipendenza tra eventi, differenza tra indipendenza ed incompatibilità. Approfondimenti teorici: ulteriori nozioni sugli insiemi boreliani, concetto di infinità numerabile e non numerabile.
12/10/2021: Concetto di variabile aleatoria ed alcuni esempi. Variabili discrete: densità discreta e funzione di ripartizione.
Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti su probabilità condizionata e teorema di Bayes. Paradosso di Monty Hall. Alcune applicazioni su test clinici, falsi positivi e falsi negativi.
13/10/2021: Ancora sulle distribuzioni discrete: trasformazioni di variabili aleatorie, definizione di valore atteso.
18/10/2021: Calcolo del valore atteso di una trasformazione di variabile discreta in due modi equivalenti (con dimostrazione dell'equivalenza). Varianza di una variabile discreta.
19/10/2021: La lezione di Probabilità non è stata svolta.
Laboratorio: Concetto di entropia di una distribuzione discreta e cenni alle sue applicazioni.
20/10/2021: Valore atteso e varianza di trasformazioni lineari (Y=aX+b). Studio di alcune particolari distribuzioni discrete: uniforme, binomiale, geometrica, di Poisson, ipergeometrica.
25/10/2021: Esperimenti bernoulliani. Applicazioni della distribuzione binomiale e della distribuzione geometrica.
26/10/2021: Ancora sugli esperimenti bernoulliani: proprietà di mancanza di memoria della distribuzione geometrica (con dimostrazione), distribuzione binomiale negativa. Distribuzione di Bernoulli, variabile indicatrice di un evento. Discussione sulle variabili aleatorie che possono assumere un'infinità non numerabile di valori.
Laboratorio: Esercizi ed approfondimenti sulle distribuzioni discrete.
27/10/2021: Variabili aleatorie assolutamente continue: densità e funzione di ripartizione, calcolo della probabilità di eventi.
02/11/2021: Valore atteso e varianza per variabili assolutamente continue. Distribuzione uniforme. Distribuzione esponenziale (con dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria).
Laboratorio: Esercitazione di riepilogo.
03/11/2021: Funzione Gamma ed alcune sue proprietà. Distribuzione Gamma. Distribuzione Normale o Gaussiana: definizione, dimostrazione del fatto che la densità integra ad 1, calcolo di valore atteso e varianza.
09/11/2021: Trasformazioni di variabili aleatorie assolutamente continue. Alcuni esempi notevoli di trasformazioni: dalla normale standard si ottiene la Chi-quadrato con 1 grado di libertà, da distribuzioni continue si possono ottenere distribuzioni discrete.
Laboratorio: Alcuni legami tra la Probabilità e la Statistica di base: istogrammi delle frequenze relative vs densità discrete, media campionaria vs valore atteso, varianza campionaria vs varianza della distribuzione. Alcune distribuzioni continue di interesse in Statistica: distribuzione Beta, distribuzione Chi-quadrato, distribuzione t-Student.
10/11/2021: Teorema sul calcolo della densità nel caso di trasformazioni strettamente monotone (con dimostrazione). Ancora sulla distribuzione normale: legame tra la normale standard e la normale generale (con dimostrazione), uso della tabella per il calcolo delle probabilità di intervalli.
15/11/2021: Teoria generale sulle distribuzioni di variabili aleatorie: definizione rigorosa di variabile aleatoria, enunciato e dimostrazione delle proprietà della funzione di ripartizione (limiti, non decrescenza, continuità da destra, eccetera).
16/11/2021: Cenni sulle misture di distribuzioni. Cenni sulle distribuzioni miste ottenute mediante una mistura tra una discreta e una assolutamente continua. Momenti di una distribuzione. Disuguaglianza di Markov (con dimostrazione).
Laboratorio: Esercitazione sulle variabili continue.
17/11/2021: Disuguaglianza di Chebyshev (con dimostrazione). Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica: definizione e calcolo per alcune delle principali distribuzioni.
22/11/2021: Alcune proprietà della funzione generatrice dei momenti e della funzione caratteristica per variabili unidimensionali, calcolo dei momenti di ordine intero, corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione.
23/11/2021: Variabili doppie discrete: densità congiunta, densità marginali, densità condizionate. Criterio di indipendenza tra due variabili discrete.
Laboratorio: Cenni ai metodi di simulazione per le distribuzioni continue: generazione di un campione da distribuzione uniforme in (0,1), riconduzione delle altre distribuzioni ad una uniforme in (0,1) mediante trasformazione di variabile aleatoria.
24/11/2021: Esempi sulle variabili doppie discrete. Teorema di Bayes per vettori discreti. Trasformazioni di variabili doppie discrete e calcolo del loro valore atteso in due modi equivalenti.
29/11/2021: Vettori aleatori assolutamente continui, densità congiunta. Calcolo di probabilità di eventi mediante l'uso di integrali doppi.
30/11/2021: Un pò di teoria generale sulle distribuzioni congiunte: definizione rigorosa di variabile doppia, funzione di ripartizione congiunta, definizione rigorosa di indipendenza, dimostrazione del criterio di indipendenza per il caso discreto. Ancora sui vettori assolutamente continui: densità marginali, densità condizionate, dimostrazione del criterio di indipendenza tra due variabili, formula del tipo Bayes per vettori assolutamente continui.
Laboratorio: Approfondimenti ed esercizi sui vettori aleatori discreti.
01/12/2021: Esempi ed esercizi su indipendenza, calcolo delle marginali e calcolo delle condizionate per i vettori assolutamente continui. Trasformazioni di variabili doppie assolutamente continue Z=g(X,Y): calcolo del valore atteso mediante la distribuzione di (X,Y). Valore atteso di Z=aX+bY+c (con dimostrazione).
06/12/2021: Valore atteso del prodotto di due variabili indipendenti (con dimostrazione). Definizione di covarianza e sue proprietà. Varianza di Z=aX+bY+c (con dimostrazione). Calcolo della distribuzione per le trasformazioni di variabili doppie assolutamente continue Z=g(X,Y).
07/12/2021: Ancora esempi di calcolo della distribuzione per le trasformazioni Z=g(X,Y). Distribuzione del massimo e del minimo di due variabili aleatorie. Uso della funzione caratteristica per determinare la distribuzione della somma di due variabili aleatorie indipendenti (somma di due normali, di due Poisson, di due binomiali, di due esponenziali). Distribuzione della combinazione lineare di variabili normali indipendenti. Cenni sulla teoria delle variabili multiple.
Laboratorio: Esercitazione.
13/12/2021: Ancora cenni sulla teoria delle variabili multiple. Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione: definizione, esempi ed alcune proprietà.
14/12/2021: La lezione di Probabilità non è stata svolta.
Laboratorio: Esempi ed applicazioni sui limiti delle distribuzioni. Convergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione di Poisson. Uso della distribuzione di Poisson in un modello per il conteggio di eventi rari.
15/12/2021: Teorema del limite centrale (con dimostrazione) ed esempi delle sue applicazioni.
20/12/2021: Convergenza in probabilità. Legge debole dei grandi numeri (con dimostrazione).
20/12/2021 (lezione straordinaria nel pomeriggio): Convergenza in media r-sima. Convergenza quasi certa. Enunciato della legge forte dei grandi numeri. Giustificazione dell'impostazione frequentista della probabilità.