Corso di
PROBABILITA' E STATISTICA
(6 crediti)
Docente: Costantino Ricciuti
Orario di lezione: Lunedì 14.30-16.00 (aula 10)
Martedì 11.30-13.00 (aula 10)
Giovedì 10.00-11.30 (aula 10)
Ricevimento studenti: Studio 5, primo piano. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it
Libro di testo: Sheldon Ross, "Calcolo delle probabilità" (da integrare con 2 capitoli del libro "Probabilità e Statistica" dello stesso autore.) .
Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
Date dell'esame scritto:
Primo appello: 18 gennaio 2017 (ore 14, aula 10)
Secondo appello: 20 febbraio 2017 (ore 14, aula 15)
Appello straordinario (*): 3 aprile 2017 (ore 10, aula 8)
Terzo appello: 27 giugno 2017 (ore 10.30, aula 10)
Quarto appello: 25 luglio 2017 (ore 10.30, aula 1)
Quinto appello: 13 settembre 2017 (ore 14, aula 2)
Appello straordinario (*) : 8 novembre 2017 (ore 14.30, aula 2)
(*) L'appello straordinario non è riservato agli studenti in corso.
Diario delle lezioni:
26/09/2016: Esperimenti con esito incerto. Definizione di spazio campionario. Concetto di evento come sottinsieme dello spazio campionario. Definizione di sigma-algebra. Assiomi della probabilità. Conseguenze degli assiomi (con dimostrazione). Esempi vari.
27/09/2016: Disuguaglianza di Boole e formula di inclusione-esclusione (con dimostrazione solo nel caso di due eventi). Spazi di probabilità uniformi. Esercizi. Principio fondamentale del calcolo combinatorio.
29/09/2016: Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni. Esercizi su spazi di probabilità uniformi, risolti mediante il calcolo combinatorio. Legge ipergeometrica.
03/10/2016: Definizione di probabilità condizionata. Regola della catena. Esempi vari. La probabilità condizionata soddisfa gli assiomi di Kolmogorov: dimostrazione. Concetto di indipendenza tra due o più eventi. Esempi vari.
04/10/2016: Legge delle alternative (con dimostrazione). Teorema di Bayes (con dimostrazione). Esercizi vari.
06/10/2016: Esercizi vari di riepilogo.
10/10/2016: Definizione di variabile aleatoria. Variabili discrete. Densità discreta e funzione di ripartizione.
11/10/2016: Valore atteso di variabile discreta. Trasformazioni di variabili discrete: calcolo della distribuzione; calcolo del valore atteso in due modi equivalenti (dimostrazione dell'equivalenza). Varianza di una variabile discreta. Variabili degeneri.
13/10/2016: Correzione e discussione del foglio 1 di esercizi per casa.
17/10/2016: Correzione e discussione del foglio 2 di esercizi per casa.
18/10/2016: Esperimenti bernoulliani: distribuzione binomiale.
20/10/2016: Esperimenti bernoulliani: distribuzione geometrica (con dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria), distribuzione binomiale negativa. Distribuzione uniforme discreta.
24/10/2016: Distribuzione di Poisson (con applicazione al conteggio di eventi rari), distribuzione ipergeometrica. Momenti di una variabile aleatoria.
27/10/2016: Variabili aleatorie assolutamente continue: densità di probabilità, funzione di ripartizione, valore atteso e varianza. Esempi ed esercizi.
03/11/2016: Distribuzione uniforme. Distribuzione esponenziale (con dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria), tempo di attesa per eventi rari. Trasformazioni di variabili continue: qualche esempio iniziale.
07/11/2016: Trasformazioni di variabili continue: esercizi vari. Densità della trasformazione Y=g(X) nel caso di g monotona. Distribuzione gaussiana standard: dimostrazione dell'integrazione ad 1, calcolo di media e varianza, uso della tabella per il calcolo della funzione di ripartizione.
08/11/2016: Altri esercizi sulle trasformazioni di variabili continue. Distribuzione gaussiana generale (ottenuta come trasformazione della gaussiana standard). Cenni alla distribuzione gamma e alla distribuzione chi-quadro ad 1 grado di libertà.
10/11/2016: Correzione e discussione dei fogli 3 e 4 degli esercizi per casa.
14/11/2016: Variabili doppie discrete. Densità discreta congiunta, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate. Indipendenza tra due variabili aleatorie.
15/11/2016: Trasformazioni di variabili aleatorie discrete Z=g(X,Y). Calcolo del valore atteso in due modi equivalenti (con dimostrazione dell'equivalenza). Esercizi vari.
17/11/2016: Variabili doppie continue. Densità congiunta. Densità marginali e densità condizionate. Esercizi vari.
21/11/2016: Criteri di indipendenza tra due variabili aleatorie continue. Valore atteso di Z=g(X,Y). Valore atteso della somma di due variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti.
22/11/2016: Covarianza tra due variabili aleatorie, significato e proprietà. Varianza della somma di due variabili aleatorie. Coefficiente di correlazione e sue proprietà. Il coefficiente di correlazione è compreso tra -1 e 1 (dimostrazione).
24/11/2016: Trasformazioni di variabili doppie continue Z=g(X,Y): esercizi vari.
28/11/2016: Funzioni caratteristiche e loro proprietà. Uso delle funzioni caratteristiche per lo studio della distribuzione di somme di variabili indipendenti: somma di due Poisson, di due gaussiane, di due binomiali. Cenni alle variabili aleatorie n-dimensionali.
29/11/2016: Definizione di convergenza in distribuzione (con qualche semplice esempio). Il Teorema del limite centrale: enunciato, dimostrazione, esercizi.
01/12/2016: Correzione e discussione del foglio 7 di esercizi per casa.
05/12/2016: Introduzione alla Statistica. Popolazione, campione aleatorio e campione osservato. Concetto di inferenza parametrica e non parametrica. Le statistiche media campionaria e varianza campionaria. Comportamento asintotico della media campionaria.
06/12/2016: Inferenza parametrica. Funzione di verosimiglianza. Stimatori e stime di massima verosimiglianza. Esempi.
12/12/2016: Esercizi sugli stimatori di massima verosimiglianza.
13/12/2016: Inferenza per popolazioni normali: distribuzione esatta della media e della varianza campionaria, intervalli di confidenza per il valore atteso (supponendo nota la varianza) e per la varianza (supponendo noto il valore atteso).
15/12/2016: Correzione e discussione del foglio 9 di esercizi per casa.
19/12/2016: Diseguaglianze di Markov e Chebychev (con dimostrazione). Definizione di convergenza in probabilità. Stimatori consistenti. Legge debole dei grandi numeri (con dimostrazione). Esempi.
20/12/2016: Significato della legge dei grandi numeri. Interpretazione frequentista della probabilità. Qualche cenno ai dati bivariati: regressione lineare semplice e metodo dei minimi quadrati.
22/12/2016: Esercitazione di riepilogo.
N.B: ho messo il foglio 10.
N.B: Vi avviso che il foglio 6 contiene esercizi di ripasso su argomenti precedenti , tra cui le distribuzioni discrete (binomiale, geometrica....) e le distribuzioni continue univariate. Inoltre, il livello degli esercizi del foglio 6 è un pò più alto del solito...si consiglia pertanto di svolgerlo dopo aver fatto un accurato ripasso degli argomenti in questione.