Per ulteriori 3 crediti formativi a scelta:   LABORATORIO DI PROBABILITA'

INIZIO DELLE LEZIONI:  25 settembre 2023

ORARIO DEFINITIVO DI LEZIONE :

Lunedì        ore 10.00-12.00 (aula 1- piano terra)

Martedì       ore  08.00 - 12.00 (aula 1- piano terra)

Mercoledì   ore 14.00-16.00 (aula 1- piano terra)

TUTORAGGIO:  La tutor del nostro corso è  Sara Curti.  Le esercitazioni si terranno, a partire dalla seconda settimana, ogni giovedì ore 12.00-14.00

RICEVIMENTO STUDENTI: Studio 11, primo piano, presso Viale Regina Elena 295, palazzina G. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it

LIBRI DI TESTO:

1) S. Ross, Calcolo delle probabilità

2) P. Baldi, Calcolo delle probabilità.

3) G. Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità

 LETTURE CONSIGLIATE PER L'APPROFONDIMENTO:

1) L. Leuzzi, E. Marinari, G. Parisi, CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

2) E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità.

FOGLI DI ESERCIZI PER CASA:  Per adesso, potete svolgere gli esercizi del foglio 1 (tutto),  foglio 2 (tutto), foglio 3 (tutto), foglio 4 (tutto),  foglio 5  (tutto), foglio 6 (tutto), foglio 7 (tutto), foglio 8 (tutto), foglio 9 (tutto),  foglio A (tutto), foglio B (tutto), foglio C (tutto), foglio D (tutto), foglio E (tutto), foglio F (tutto). Questi fogli di esercizi sono reperibili all'indirizzo seguente https://sites.google.com/a/uniroma1.it/costantino-ricciuti/teaching-2020-21/probabilita-2020-21

Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. 

Date dell'esame scritto:        

17 gennaio 2024  (ore 14:00, aule 1  e 2 al piano terra)

1 febbraio 2024    (ore 14:00, aule 1  e 2 al piano terra)

20 febbraio 2024  (ore 14:00, aule 1  e 2 al piano terra)

16 aprile 2024 (ore 14:00, aula 14)

19 giugno 2024 (ore 15:00, aula 2 al piano terra)

23 luglio 2024

Diario delle lezioni:

25/09/2023:  Introduzione al corso. Elementi di calcolo combinatorio: principio fondamentale, disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni.

26/09/2023:   Esperimenti deterministici ed esperimenti con esito incerto. Definizione di spazio campionario. Concetto di evento come sottinsieme dello spazio campionario.  Operazioni tra eventi. Definizione di sigma algebra. Successioni di eventi, limite delle successioni crescenti e decrescenti.

Laboratorio:   Applicazioni ed esercizi sul calcolo combinatorio. Conteggio delle combinazioni. Coefficiente binomiale e coefficiente multinomiale.

27/09/2023:  Sigma algebra di Borel.  Introduzione al concetto di Probabilità.  Impostazione frequentista ed impostazione soggettiva.   Definizione rigorosa della Probabilità mediante gli assiomi di Kolmogorov.

02/10/2023:   Prime conseguenze degli assiomi di Kolmogorov: probabilità dell'evento complementare, probabilità dell'insieme vuoto,  formula di inclusione ed esclusione di Poincarè. Spazi di probabilità uniformi: definizione e primi esempi.

03/10/2023:   La lezione di Probabilità non è stata svolta.

Laboratorio:   Esercizi ed applicazioni sugli spazi di probabilità uniformi, anche usando tecniche di calcolo combinatorio.

04/10/2023:    Altre conseguenze degli assiomi di Kolmogorov: monotonia della probabilità, disuguaglianza di Boole, continuità della probabilità (dimostrata nell'ambito delle successioni di eventi crescenti e decrescenti). Altri esempi di calcolo delle probabilità nel caso di spazi uniformi, legge ipergeometrica.

09/10/2023:    Concetto di infinità numerabile e non numerabile. Concetto di misura di probabilità uniforme nel caso in cui lo spazio campionario sia un sottinsieme di R^d (ovvero, la misura di probabilità è calcolata come rapporto di misure di Lebesgue).

10/10/2023:    Definizione di probabilità condizionata e dimostrazione del fatto che essa soddisfa gli assiomi di Kolmogorov. Legge delle probabilità composte. 

Laboratorio:   Esercizi ed applicazioni sugli spazi uniformi e sulla legge ipergeometrica.

11/10/2023:   Legge delle probabilità composte (o regola della catena) con n eventi. Indipendenza tra eventi: definizione ed esempi vari.

16/10/2023:  Altre considerazioni sull'indipendenza tra eventi, differenza tra indipendenza ed incompatibilità. Legge delle alternative.

17/10/2023:  Teorema di Bayes. Introduzione alla teoria delle variabili aleatorie.

Laboratorio:   Esercizi ed applicazioni su probabilità condizionata ed indipendenza. Paradosso di Monty Hall.

18/10/2023:  Variabili aleatorie discrete: densità, funzione di ripartizione, valore atteso.

23/10/2023: Trasformazioni  di variabili aleatorie discrete: metodo per determinare la distribuzione e calcolo del valore atteso in due modi equivalenti. Valore atteso di Y=aX+b.

24/10/2023:  Varianza di una variabile discreta. Varianza di Y= aX+b.  Studio di particolari distribuzioni discrete: degenere, uniforme, Poisson.

Laboratorio:   Esercizi ed applicazioni su legge delle alternative e teorema di Bayes. Applicazione riguardante test clinici, falsi positivi e falsi negativi.

25/10/2023:  Studio di altre distribuzioni discrete notevoli: geometrica, binomiale, ipergeometrica, bernoulliana. Variabile indicatrice di un evento.

30/10/2023:  Esperimenti Bernoulliani, applicazioni della distribuzione binomiale e della distribuzione geometrica.

31/10/2023:  Ancora esercizi sugli esperimenti Bernoulliani, proprietà di mancanza di memoria della distribuzione geometrica. Introduzione sulle variabili aleatorie assolutamente continue: definizione euristica,  proprietà della densità di probabilità, calcolo di probabilità di eventi mediante integrali definiti.

Laboratorio:   Entropia delle distribuzioni discrete: cenni sulla teoria di Shannon.

06/11/2023:  Ancora sulle variabili assolutamente continue: funzione di ripartizione, calcolo del valore atteso.

07/11/2023:  Trasformazioni di variabili aleatorie assolutamente continue: esempi vari. Formula per il calcolo della densità nel caso di trasformazioni strettamente monotone.

Laboratorio:    Esercizi di riepilogo sulle variabili discrete e sugli esperimenti Bernoulliani.

08/11/2023:  Ancora trasformazioni di variabili continue: calcolo del valore atteso in due modi equivalenti. Varianza delle variabili continue. Distribuzione uniforme. Distribuzione esponenziale (con dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria).

13/11/2023:  Distribuzione normale o gaussiana:  dimostrazione del fatto che la densità integra ad 1, calcolo di valore atteso e varianza, trasformazione di una normale in una normale standard.

14/11/2023:  Ancora sulla distribuzione normale: uso della tabella per il calcolo delle probabilità di intervalli. Funzione Gamma di Eulero e sue proprietà. Distribuzione Gamma. Distribuzione Chi Quadro. Il quadrato di una normale standard segue una Chi Quadro con 1 grado di libertà.

Laboratorio:    Esercizi di riepilogo sulle variabili continue e sulle loro trasformazioni.

15/11/2023:   Variabili doppie discrete: densità congiunta, densità marginali, densità condizionate, criterio di indipendenza, trasformazioni del tipo Z=g(X;Y) e calcolo del loro valore atteso in due modi equivalenti.

20/11/2023:  Applicazioni ed esercizi sulle variabili doppie discrete. Legge delle alternative e Teorema di Bayes per i vettori discreti.

21/11/2023:  Variabili doppie assolutamente continue: densità congiunta e sue proprietà, calcolo della probabilità di regioni di piano mediante integrali doppi.

Laboratorio:   Entropia delle distribuzioni assolutamente continue. Esercizi ed approfondimenti sulle variabili continue.

22/11/2023:  Ancora sulle variabili doppie assolutamente continue: densità marginali, criterio di indipendenza, densità condizionate.

27/11/2023:  Esercitazione.

28/11/2023:  Legge delle alternative e teorema di Bayes per i vettori continui. Trasformazioni di variabili doppie continue del tipo Z=g(X,Y) e calcolo del loro valore atteso in due modi equivalenti. 

Laboratorio:   Esercizi ed approfondimenti sulle variabili doppie.

29/11/2023:  Valore atteso del prodotto di due variabili indipendenti. Valore atteso e varianza della combinazione lineare di due variabili. Definizione di covarianza e studio di alcune sue proprietà.

04/12/2023:  Teoria generale delle variabili aleatorie e delle distribuzioni di probabilità: definizione rigorosa di variabile aleatoria, enunciato e dimostrazione delle proprietà della funzione di ripartizione (limiti, non decrescenza, continuità da destra, eccetera). 

05/12/2023:   Misture tra distribuzioni. Cenni sulle distribuzioni miste (cioè misture tra una distribuzione discreta e una continua). Momenti di una variabile aleatoria. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebyshev. Disuguaglianza di Jensen.

Laboratorio:   Approfondimento sul significato della covarianza. Coefficiente di correlazione: definizione e dimostrazione di alcune sue proprietà che lo differenziano dalla covarianza (invarianza sotto cambio di scala,  valori compresi tra -1 e 1, eccetera). 

06/12/2023:  Funzione generatrice dei momenti: definizione, esempi di calcolo per alcune distribuzioni notevoli, studio delle principali proprietà (corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione, formula per il calcolo dei momenti). 

07/12/2023:  (Lezione straordinaria).  Ripasso di alcune nozioni sui numeri complessi.  Funzione caratteristica: definizione, esempi di calcolo per alcune distribuzioni notevoli, studio delle principali proprietà (corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione, formula per il calcolo dei momenti). Studio delle differenze tra funzioni caratteristiche e funzioni generatrici dei momenti.

11/12/2023:  Cenni sulle variabili aleatorie multiple: funzione di ripartizione congiunta, definizione rigorosa di indipendenza tra n variabili aleatorie. Criteri di indipendenza nel caso di variabili discrete e di variabili assolutamente continue. Trasformazioni di n variabili aleatorie: calcolo del valore atteso mediante la distribuzione congiunta, valore atteso e varianza di una combinazione lineare di variabili aleatorie.

12/12/2023:   Valore atteso del prodotto di n variabili indipendenti. Funzione caratteristica della somma di n variabili indipendenti. Uso della funzione caratteristica per ottenere alcuni risultati notevoli sulla somma di n variabili indipendenti: somma di Binomiali, di Poisson, di Normali, di Esponenziali, di Gamma, di Chi Quadro. Distribuzione del massimo e del minimo di n variabili indipendenti.

Laboratorio:   Collegamenti tra Probabilità e Statistica di base. L'istogramma delle frequenze relative come approssimazione della distribuzione teorica. La media e la varianza campionaria come approssimazioni del valore atteso e della varianza della distribuzione. Covarianza e coefficiente di correlazione campionari come approssimazioni della covarianza e del coefficiente di correlazione di una distribuzione congiunta.

13/12/2023:  Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione: definizione ed esempi vari.

14/12/2023:  Altri esempi sulla convergenza in distribuzione, teorema di Levy. Alcune proprietà della somma e della media aritmetica di un campione di variabili i.i.d. e loro interpretazione statistica. Teorema del limite centrale: enunciato ed esempi di applicazioni.

18/12/2023:  Dimostrazione del teorema del limite centrale. Convergenza in probabilità: definizione e studio di alcune proprietà. 

19/12/2023:   Legame tra la convergenza in probabilità e quella in distribuzione. Legge debole dei grandi numeri.

Laboratorio:   Approfondimenti ed applicazioni sulle convergenze di variabili aleatorie. Approssimazione della binomiale mediante la normale (teorema di De Moivre-Laplace), approssimazione della binomiale mediante la Poisson (da vedere a tutoraggio), approssimazione della Poisson mediante la normale. Un esempio di distribuzione multipla discreta: la distribuzione multinomiale.

20/12/2023:  Convergenza in media k-sima. Cenni sulla convergenza quasi certa e sulla legge forte dei grandi numeri.

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Elenco degli avvisi passati:

Avviso urgente: vi comunico che domani, martedì 3 ottobre, faremo regolarmente lezione con orario 8-10 (Laboratorio di Probabilità), ma purtroppo dovremo annullare la lezione di Probabilità con orario 10-12, in quanto sono stato convocato in Rettorato per svolgere un'attività a cui devo obbligatoriamente partecipare. Vi chiedo infinitamente scusa per l'imprevisto, e soprattutto per lo scarso preavviso.

Ci vediamo domattina alle 8:20

AVVISO IMPORTANTE: domani, giovedì 14 dicembre, faremo una lezione straordinaria dalle ore 12 alle ore 14, nella solita aula.  Dopo la lezione ci  sarà il tutoraggio.

AVVISO IMPORTANTE: domattina (martedì 12 dicembre), faremo lezione dalle ore 9 alle ore 13. Come ogni martedì, la prima metà del tempo sarà dedicata al Laboratorio di Probabilità, mentre la seconda metà sarà dedicata alla lezione di Probabilità.

AVVISO IMPORTANTE:  lunedì 27 novembre, al posto della lezione delle ore 10-12, si terrà un tutoraggio straordinario.

AVVISO IMPORTANTE: GIOVEDI  7 DICEMBRE SI TERRA' UNA LEZIONE STRAORDINARIA DALLE ORE 10 ALLE ORE 12.