PROBABILITA'

  (9 crediti)

  docente: Costantino Ricciuti

      per i Corsi di Laurea Triennale in

                        STATISTICA, ECONOMIA E SOCIETA'   

                             &    STATISTICA GESTIONALE


Avviso importante sulla lezione online di domani 20 dicembre.

Vi avevo detto che la lezione si sarebbe tenuta di mattina.

Purtroppo, a causa di impegni familiari, dovremo fare lezione di pomeriggio.

Inizieremo lezione alle ore 16 circa, e cercherò di concludere in meno di 1 ora e mezza (forse 1 ora è sufficiente)

So che questo impedirà ad alcuni di seguire lezione in diretta, e mi dispiace molto.

Tuttavia, garantisco che la lezione verrà registrata.

Useremo il solito link zoom.

Un caro saluto

CR




Avviso: martedì 19 novembre, durante le prime due ore di lezione si terrà il tutoraggio al posto della lezione di Laboratorio. Dopodichè, nelle ultime due ore ci sarà la consueta lezione di Probabilità.


Avviso: venerdì 22 novembre, alle ore 10:30, in modalità esclusivamente online, si terrà una lezione straordinaria in cui correggeremo e discuteremo alcuni esercizi assegnati per casa.


https://uniroma1.zoom.us/j/85150252332?pwd=YVNCd0Y3RWJzRnU0WG9hM0dFMEVGZz09 

Per ulteriori 3 crediti formativi a scelta:   LABORATORIO DI PROBABILITA'

INIZIO DELLE LEZIONI:  23 settembre 2024 

ORARIO DEFINITIVO DI LEZIONE :

Lunedì        ore 10.00-12.00 (aula 1- piano terra)

Martedì       ore  08.00 - 12.00 (aula 1- piano terra)

Mercoledì   ore 18.00-20.00 (aula 1- piano terra)


TUTORAGGIO:   I tutors del nostro corso sono  

 Le esercitazioni si terranno, a partire dalla seconda settimana, ogni giovedì dalle 14:00 alle 16:00 in aula 13.


RICEVIMENTO STUDENTI: Studio 11, primo piano, presso Viale Regina Elena 295, palazzina G. Il giorno e l'ora devono essere concordati via mail, scrivendomi all'indirizzo costantino.ricciuti@uniroma1.it


LIBRI DI TESTO:

1) S. Ross, Calcolo delle probabilità

2) P. Baldi, Calcolo delle probabilità.

3) G. Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità


 LETTURE CONSIGLIATE PER L'APPROFONDIMENTO:


1) L. Leuzzi, E. Marinari, G. Parisi, CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

2) E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità.


FOGLI DI ESERCIZI PER CASA:  Per adesso, potete svolgere tutti gli esercizi dei seguenti fogli : foglio 1,  foglio 2,  foglio 3, foglio 4, foglio 5, foglio 6, foglio A, foglio B, foglio C , foglio D. Fare anche il foglio 7, il foglio 8, il foglio 9, il foglio E e il foglio F .  Questi fogli di esercizi sono reperibili all'indirizzo seguente https://sites.google.com/a/uniroma1.it/costantino-ricciuti/teaching-2020-21/probabilita-2020-21 


Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. 


Date dell'esame scritto:      

17 gennaio 2025 (ore 10:30, aule 1 e 2)

6 febbraio 2025

20 febbraio 2025  



Diario delle lezioni:

23/09/2024:  Introduzione al corso.  Esperimenti con esito incerto.  Definizione di spazio campionario.  Eventi come sottinsiemi dello spazio campionario. Definizione di sigma algebra.

24/09/2024:   Introduzione al concetto di probabilità, discussione sull'impostazione frequentista e sull'impostazione soggettiva. Definizione rigorosa di probabilità, mediante gli assiomi di Kolmogorov.  Conseguenze degli assiomi: probabilità dell'evento complementare, probabilità dell'insieme vuoto, monotonia della probabilità, formula di inclusione ed esclusione di Poincarè.

25/09/2024:   Altra conseguenza degli assiomi di Kolmogorov: la disuguaglianza di Boole. Spazi di probabilità uniformi. Nozioni elementari di calcolo combinatorio (principio fondamentale, conteggio di disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni).  Esercizi sugli spazi di probabilità uniformi risolti mediante il calcolo combinatorio.

30/09/2024:  Altre nozioni di calcolo combinatorio: combinazioni, coefficiente binomiale di Newton. Nuovi esercizi sugli spazi uniformi risolti mediante il calcolo combinatorio. Legge ipergeometrica.

01/10/2024:   Successioni di eventi, limite delle successioni monotone. Teorema: la Probabilità è una funzione continua. Riflessione sugli insiemi contenenti infiniti elementi: differenza tra infinità numerabile e non numerabile.

Laboratorio: Ulteriori esempi di calcolo delle probabilità risolti mediante il calcolo combinatorio. Coefficiente multinomiale, permutazioni di elementi non distinti.

02/10/2024:   Distribuzione uniforme su regioni di R^d, con d=1,2,3 (ovvero, calcolo della probabilità di eventi mediante rapporto di misure di Lebesgue).  Sigma algebra di Borel. Concetto di evento quasi certo e quasi impossibile.

07/10/2024:  Probabilità condizionata: definizione ed esempi. Legge delle probabilità composte (o regola della catena). 

08/10/2024:   Dimostrazione del fatto che la probabilità condizionata soddisfa gli assiomi di Kolmogorov. Legge delle alternative. Teorema di Bayes.

09/10/2024:   Indipendenza tra due o più eventi: definizione, esempi vari, studio del caso di eventi quasi certi e quasi impossibili.   

14/10/2024:   Introduzione alla teoria delle variabili aleatorie. Variabili discrete: densità e funzione di ripartizione. 

15/10/2024:  Valore atteso delle variabili discrete. Trasformazioni di variabili discrete del tipo Y=g(X): calcolo della distribuzione, calcolo del valore atteso in due modi equivalenti. Valore atteso di Y=aX+b.

16/10/2024:  Varianza delle variabili discrete. Calcolo della varianza in due modi equivalenti. Varianza di Y=aX+b.  Distribuzione degenere. Esperimenti bernoulliani.

21/10/2024: Studio di particolari distribuzioni discrete: distribuzione binomiale, distribuzione  bernoulliana (con definizione di variabile indicatrice di un evento).

22/10/2024: Studio di altre distribuzioni discrete: distribuzione di Poisson, distribuzione geometrica (con proprietà di mancanza di memoria), distribuzione ipergeometrica. 

23/10/2024:  Laboratorio: Esercitazione di riepilogo. 

28/10/2024: Variabili aleatorie assolutamente continue. Densità di probabilità e sue proprietà.  Calcolo di probabilità di intervalli mediante integrali definiti. Calcolo della funzione di ripartizione.

29/10/2024: Valore atteso di una variabile assolutamente continua.  Definizione di quantile. Distribuzione uniforme su un intervallo.

Laboratorio:   Entropia delle distribuzioni di probabilità discrete.

30/10/2024:  Trasformazioni di variabili aleatorie Y=g(X), dove X è assolutamente continua. Formula per il calcolo della densità di Y=g(X) nel caso di g strettamente monotona.

04/11/2024:  La lezione non è stata svolta.

05/11/2024:   Teorema sul valore atteso di Y=g(X) calcolato in due modi equivalenti (nel caso di variabili assolutamente continue). Varianza di una variabile assolutamente continua. Valore atteso e varianza di Y=aX+b. Funzione Gamma di Eulero e sue proprietà. Distribuzione esponenziale (con proprietà di mancanza di memoria).

06/11/2024:    Distribuzione Gamma. Distribuzione Chi quadro. Distribuzione normale: definizione, legame tra la normale generale e la normale standard, stabilità rispetto alle combinazioni lineari, calcolo di valore atteso e varianza.

08/11/2024:    Laboratorio:  (lezione straordinaria) Collegamenti tra probabilità e statistica di base: istogramma delle frequenze empiriche come approssimazione della distribuzione di probabilità teorica, media aritmetica e varianza campionaria come approssimazioni del valore atteso teorico e della varianza teorica della distribuzione.

11/11/2024:   Ancora sulla distribuzione normale: dimostrazione del fatto che la densità integra ad 1;  uso della tabella dei quantili per il calcolo delle probabilità di intervalli; il quadrato di una normale standard segue una Chi quadro con 1 grado di libertà.

12/11/2024: Teoria generale delle variabili aleatorie e delle distribuzioni di probabilità: definizione rigorosa di variabile aleatoria, dimostrazione delle proprietà della funzione di ripartizione: limiti, non decrescenza, continuità da destra, eccetera.

Laboratorio:   Entropia delle distribuzioni assolutamente continue. Cenni sulla teoria delle simulazioni delle distribuzioni: come scrivere una variabile aleatoria come trasformazione di una uniforme in [0,1].

13/11/2024:   Cenni sulle misture di distribuzioni.  Momenti delle variabili aleatorie. Disuguaglianza di Markov.

18/11/2024:   Disuguaglianza di Chebyshev. Disuguaglianza di Jensen. Variabili doppie discrete: densità congiunta, densità marginali, criterio di indipendenza tra due variabili discrete, densità condizionate.

19/11/2024:   Trasformazioni di variabili discrete del tipo Z=g(X,Y), calcolo del valore atteso in due modi equivalenti. Legge delle alternative e teorema di Bayes per le variabili doppie discrete.

Laboratorio: al posto del Laboratorio si è tenuto un tutoraggio.

20/11/2024: Variabili doppie assolutamente continue: densità congiunta, calcolo di probabilità di eventi mediante l'uso di integrali doppi. Trasformazioni del tipo Z= g(X,Y): calcolo del valore atteso mediante la densità congiunta.

22/11/2024:   Laboratorio   (lezione straordinaria) Esercitazione di riepilogo.

25/11/2024:  Trasformazioni del tipo Z=g(X,Y) con (X,Y) assolutamente continua: esempi su come determinare la distribuzione. Calcolo delle densità marginali e criterio di indipendenza per variabili doppie assolutamente continue.

26/11/2024:  Spiegazione del concetto di densità condizionata nel caso di variabili doppie assolutamente continue. Esercizi ed esempi sul calcolo delle densità marginali e delle densità condizionate, e sulle trasformazioni di variabili doppie.

Laboratorio: Ancora cenni sulla teoria della simulazione delle distribuzioni: generazione di numeri pseudo-casuali uniformemente distribuiti tra zero e 1 e loro uso per la simulazione delle altre distribuzioni.

27/11/2024:  Legge delle alternative e teorema di Bayes per variabili doppie assolutamente continue. Valore atteso di Z=aX+bY+c. Valore atteso del prodotto di due  variabili indipendenti.  Covarianza e sue proprietà. Varianza di Z=aX+bY+c.

02/12/2024:  Cenni sulle variabili multiple: funzione di ripartizione congiunta, definizione rigorosa di indipendenza tra N variabili aleatorie generiche (e dimostrazione dei criteri speciali validi nel caso di variabili discrete ed assolutamente continue).  Trasformazioni di variabili multiple: enunciato di risultati noti sulla distribuzione della somma di variabili indipendenti: somma di Poisson, di Binomiali, di Normali, di Gamma, di Chi quadro.

03/12/2024:  Ancora sulle trasformazioni di variabili multiple: distribuzione del massimo e del minimo di N variabili indipendenti. Valore atteso di una trasformazione di variabile multipla. Valore atteso e varianza di una combinazione lineare di N variabili generiche. Valore atteso del prodotto di N variabili indipendenti.  Il caso speciale di N variabili i.i.d. : valore atteso e varianza delle variabili  somma campionaria e media aritmetica campionaria.

 Laboratorio:  Coefficiente di correlazione tra due variabili aleatorie: significato pratico, invarianza sotto cambi di scala, dimostrazione del fatto che assume valori compresi tra -1 e 1.   Collegamento con la Statistica di base: studio dei dati bivariati, covarianza empirica e coefficiente di correlazione empirico come stime della covarianza e del coefficiente di correlazione teorici. Esempio di distribuzione multipla discreta: la distribuzione multinomiale.

 04/12/2024:  Funzione generatrice dei momenti: definizione, calcolo per le principali distribuzioni, formula per il calcolo dei momenti, corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione.

09/12/2024:  Funzione caratteristica: definizione, calcolo per le principali distribuzioni, formula per il calcolo dei momenti, corrispondenza biunivoca con la funzione di ripartizione. Funzione caratteristica della somma di variabili indipendenti e suo uso per la dimostrazione dei risultati notevoli enunciati nelle scorse lezioni (somma di Poisson, di Binomiali, di Normali, di Gamma, di Chi quadro).

10/12/2024:   Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione: definizione, proprietà notevoli, esempi.

Laboratorio:   Esercizi di riepilogo.

11/12/2024:  Teorema del limite centrale e sue applicazioni.

16/12/2024:  Convergenza in probabilità. Legame con la convergenza in distribuzione. Legge debole dei grandi numeri.

17/12/2024:  Dimostrazione di alcuni teoremi fatti nella precedente lezione.

Laboratorio:  Approfondimenti ed esercizi sulle convergenze di variabili aleatorie.  Teorema di De Moivre-Laplace.

20/12/2024:  Cenni sulla convergenza in media k-sima e sulla convergenza quasi certa. Enunciato della legge forte dei grandi numeri.