青少年數學教育在實際應用中解決問題

隨著年紀的增長，中學生具有越來越多抽象思維和分析的能力。而青少年的數學教育同時側重於算術、代數與幾何，瑪麗亞．蒙特梭利將其比喻為數學的「三足凳」（three-legged stool）。

Greenspring 蒙梭利學校的數學老師 Margaret Jarrell (2017) 表示，青少年數學教育是小學課程的延伸，著重於在實際應用中解決問題。青少年課程中需要培養學生對數據進行邏輯推理的方法，而不僅是記得各種運算規則及程序。學生使用數據、圖表和代表值(representative value)（註1）時，必須能反映他們對情況做出推理的期望想法，而不只是簡單地應用規則和算法。當學生遇到有趣且有意義的問題時，他們會獲得最大的理解，這些問題涉及他們自己生成數據並進行分析。根據這些數據生成的表格、列表、圖形和公式將使他們獲得各種使用代數的技能。在應用的過程中，透過前後推測來研究過程及算法，學生將能對知識保留更長時間的記憶，並在概念和過程之間建立起連結。也就是說，這是一種「及時學習」（just-in-time learning）而不是「以防萬一的學習」（just-in-case learning），當你需要的時候，學習它可以讓你保留對知識更長的記憶時間。

青少年數學教育的思考重點

在蒙特梭利的教育觀點中，「預備好的環境」是孩子能以有意義學習的關鍵因素，一個預備好的環境能達到以下目標：讓每個學生以體驗來獲得學習的樂趣，也能幫助所有學生完善他們的學習工具，從而使他們的能力在將來的學習中，得到最大程度的發揮。John McNamara（2016）指出，蒙特梭利的青少年數學教育若是過於接近傳統的數學課程（直接指導、指導性練習、獨立練習），仍有可能偏離這些目標。如果數學教育僅以食譜形式提供給學生，則學生會為之苦惱。例如：告訴學生「這是一個方程式，這是一個圖形，請自己依此類推。」他發現，當學生有某種想法可以使他們真正投入並感到興奮時，這就是學習數學的突破關鍵了。因此，如何創建一個預備好的環境，​​使學生找到並開始自己的學習模式，以幫助他們更好地學習數學，這將對他們來說非常有意義─數學不再僅是符號、數字及算法。

John McNamara（2016）提出以下四個面向，作為發展數學教育的思考點：

1. 我們如何協助學生開展有意義的活動，探索這些活動並討論結果？

在蒙特梭利中學裡，「農場學校」的實踐，推動著學生使用數學來幫助維護其所經營的事業，例如：商店經營、午餐計畫以及其他需實際考量的情況。

2. 我們如何協助學生從數據轉移到概念？

教師可以幫助學生產生一種思維：將數學視為一個過程，讓學生知道自己就是數學家。事實上，「深度」比速度來得重要。很多時候，教師和學生深信著：「當你可以更快地完成數學題目，表示你的數學程度是更好的。」但是，當我們僅重視速度（限時測驗），我們可能會鼓勵學生成為速度快的答題高手，但卻可能會阻礙較慢（可能是更深層次）的數學思想家。

3. 我們如何將數學融入課程，而不是單獨的學科？

教師應讓學生學習與歷史、地理、自然科學和語言相關的數學，以探索整個文化世界。

4. 我們如何確保整個數學教學的重點，是使規則和公式成為到達與發現的起點，而不僅是出發點？

透過這一發現過程將有助於使青少年成為一個能全方面檢視與整合資源的問題解決者（problem solver），而不僅僅是一個重視行動的解決問題者（problem doer）。 

除了上述四項思考重點之外，亦須重視數學教材的重要性。蒙特梭利青少年數學教育專家麥克．華斯基 （Michael Waski）表示 ，教師須謹記：沒有前面的關鍵抽象步驟，形式化就不可能出現（從抽象到具體概念的理解）。因此，在青少年課程中，教師仍然需要透過學習教材來幫助學生發展數學思維，並應選擇對青少年有吸引力的教材（需是多用途、具延展性並能說明關鍵概念），讓學生能夠使用它們用於推論，來幫助自己將這些關鍵概念形式化。Maria Montessori 指出，沒有數學，人類將無法創造任何東西。抽象與數學思維無關，但是精確的抽象與數學思維有關。從想像力轉變為實際可行的東西需要精確性，而這就是數學。教師需要給孩子們很多真實的經歷，以幫助他們理解抽象並進行想像。如果學生沒有什麼可藉鑑的，那麼他們怎麼可能真正理解抽象的概念呢？因學生經常經歷死記硬背的過程，這些過程通常被解釋為抽象，但這並不是真正的抽象。

獨特的蒙氏數學教學策略

關於青少年如何運用蒙特梭利的方法來學習數學，麥克．華斯基說必須利用學生的「社交動力」，安排小組工作、討論、動手活動，並預備一個「無所畏懼」的學習氛圍（David Ayer, 2020）。他將以下元素帶進他的數學課中：開放工作時間（Open Work Time）、混齡教學（Multi-Age Instruction）、數學討論會（Math Seminar）及數學歷史 （History），使青少年在學習數學時，不再拒學與害怕。麥克也建議應將許多概念在小學時即引入數學課堂，而當學生進入中學後，持續以吸引青少年的方式來推動數學的學習，例如：在實際的社會及工作世界中進行探索，或將數學技能和主題進行更複雜的融合，來重新審視這些概念，從而使數學的學習充滿活力並保持新鮮感。（閱讀更多：不一樣的蒙特梭利數學課）

事實上，在蒙特梭利的數學課堂中，青少年對於數學的學習總是由好奇心所驅動著，他們不僅想了解如何使用數學，還想了解數學作為人類進化的神話，各個文化如何利用數學來發展其歷史脈絡，以及當今的思想家又是如何利用數學來定義宇宙。而教師需要精通數學的故事，以及數學的語言和原理，以激發學生能產生更多的對話，並在學生發現答案時給予支持。（Catherine McTamaney, 2018）

而隨著青少年年齡的增長，蒙特梭利教師或許可以試著鼓勵青少年，開始從「我什麼時候會用到數學？（When am I going to use this?）」轉變為「如何在世界上使用數學？」（How is this used in the world?）

蒙特梭利青少年數學教育的學習資源

1. 書籍

• Montessori Algebra for the Adolescent

• Teaching Geometry to the Adolescent: A Montessori Approach

• Teaching Geometry to the Adolescent: A Montessori Approach, Volume 1  ( 試閱本 )

• Teaching Geometry to the Adolescent: A Montessori Approach, Volume 2（預計 2020 年夏天發行）

2. 免費下載資源

https://www.greatworkinc.org/free-math

3. 數學簡史時間軸 ( 大表，由 Michael Waski 創作 )  

• • 用於講故事、展示在教室裡，幫助孩子學習用數學來理解並欣賞身邊的事物。

  • 另一種操作方式是，讓孩子自己探索並製作自己的數學簡史時間軸，可以將此大表「挖空」，讓其經由學習理解後，填入對數學有貢獻的歷史人物。

註

1. 代表值(representative value)：

一系列測量的代表性值是我們認為最接近上述測量的實際值的值。如果我們進行一系列測量，代表性值將是它們的平均值。

參考資料

Catherine McTamaney (2018). Math and the Adolescent. Retrieve from https://www.montessoridaoshi.com/single-post/2018/11/02/Math-and-the-Adolescent?fbclid=IwAR3cMgPCvI-27ZdVK69m5amzcdPliOn_U__vmKlqXn0luNWYsl24YNAmnj4

Margaret Jarrell (2017). The Magic of Montessori Mathematics. Retrieve from https://greenspringmontessori.org/the-magic-of-montessori-mathematics/

Michael Waski (2017). How the Mathematical Mind of the Adolescent Develops from Early Adolescence to Late Adolescence. The NAMTA Journal, 42(3),5–16.

McNamara, J. (2016). How the Montessori upper elementary and adolescent environment naturally integrates science, mathematics, technology and the environment. The NAMTA Journal, 41(2), 83–97.

David Ayer (2020). Montessori Algebra and Geometry for Adolescents. Montessori Public, WINTER 2020, 4(2). Retrieve from https://www.montessoripublic.org/2020/02/montessori-algebra-and-geometry-for-adolescents/