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Satz des Pythagoras
<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><h3>Der Satz des Pythagoras</h3><h4>Beispiele für interessante Beweise</h4><h5>Beweis durch Flächenvergleich</h5><ul><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras#:~:text=Art%20und%20Weise.-,Beweis%20durch%20Erg%C3%A4nzung,-Positionierung%20von%20vier">Zeichnung siehe Wikipedia</a></li><li>Beweis<br />In obiger Figur gilt:<br />\((1)\\\text{Winkelsumme im Dreieck}\Rightarrow \alpha + \beta =90°\Rightarrow \delta=90°\\ (2)\\c^2=(a+b)^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2\Rightarrow\\a^2+b^2=c^2\)</li></ul><h5>Beweis durch Ähnlichkeit</h5><ul><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras#:~:text=der%20Parkettierung%20eingezeichnet.-,Beweis%20mit%20%C3%84hnlichkeiten,-%C3%84hnlichkeit%20der%20Dreiecke">Zeichnung siehe Wikipedia</a></li><li>Beweis<br />\(\dfrac{p}{b}=\dfrac{b}{c}\Rightarrow b^2=c\cdot p\\\dfrac{q}{a}=\dfrac{a}{c}\Rightarrow a^2=c\cdot q\\a^2+b^2=c\cdot q+c\cdot p=c\cdot (q+p)=c^2\\a^2+b^2=c^2\)</li></ul><h4>Zwei interessante Anwendungen</h4><h5>Höhe in einem gleichseitigen Dreieck</h5><p><a href="https://www.geogebra.org/m/gqxttx4p">Geogebra</a></p><h5>Leiter an der Wand</h5><p><a href="https://www.geogebra.org/m/kj74wxct">Geogebra</a></p><h3>Der Kehrsatz zum Satz des Pythagoras</h3><h4>Beweis</h4><ul><li>Für ein Dreieck soll gelten \(a^2+b^2=c^2\).</li><li>Konstruiert man ein Dreieck mit den gleichen Seitenlängen \(a\) und \(b\), wobei die entsprechenden Seiten senkrecht aufeinander stehen, gilt in diesem für die Seite \(c\) wegen dem Satz des Pythagoras \(c^2=a^2+b^2\).</li><li>Da im Ausgangsdreieck und im konstruierten die Quadrate der jeweiligen Seite \(c\) gleich sind, müssen auch deren Seitenlängen gleich sein, womit die beiden Dreiecke wegen dem Kongruenzsatz SSS kongruent sind und damit die Winkel gleich sein müssen.</li><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras#:~:text=liefert.%5B18%5D-,Beweis%20der%20Umkehrung,-Beweis%20der%20Umkehrung">Siehe auch Wikipedia</a></li></ul><h4>Anwendungen</h4><ul><li>Sind einem viereckigen Zimmer die Quadrate der Seitenlängen gleich dem Quadrat der Diagonale des Zimmers ist, ist das Zimmer rechtwinklig.</li><li>Ist in einem gleichschenkligen Seiten das Quadrat eines Schenkels halb so groß wie das Quadrat der Basis, ist das gleichschenklige Dreieck rechtwinklig.</li></ul><h3>Berechnungen an Figuren und Körpern</h3><h4>Beispiele</h4><ul><li>Höhe im gleichseitigen Dreieck</li><li>Diagonale in einem Quadrat</li><li>Raumdiagonale in einem Würfel</li></ul><h4>Strategie</h4><ul><li>Schrittweise allgemeine Berechnung der gesuchten Größe mit Zwischen-Termen und Variable, die letztendlich einen Gesamt-Term ergeben!</li><li>Werte in den Gesamt-Term einsetzen!</li></ul>