La lógica algebraica (AL) nació en el siglo XIX principalmente con la obra de Boole. Tomó la equivalencia lógica en lugar de verdad como el predicado lógico primitivo y desarrolló sistemas lógicos en los que las investigaciones metalógicas toman un carácter claramente algebraico. El trabajo de Boole evolucionó en la teoría moderna de álgebras booleanas, y luego, AL evolucionó en un campo independiente de estudio. 

 Tarski dio la conexión precisa entre álgebras booleanas y el cálculo proposicional clásico. Su enfoque se basa en la idea de Lindenbaum de ver el conjunto de fórmulas como un álgebra con operaciones inducidas por las conexiones lógicas. La equivalencia lógica es una relación de congruencia en el álgebra de la fórmula, y el álgebra del cociente asociado resulta ser un álgebra booleana libre. Esto se conoce hoy en día como el método de Lindenbaum-Tarski. Otras lógicas que no se basan en la noción (clásica) de verdad, como la lógica intuicionista o la lógica de valores múltiples, también pueden ser abordadas desde los dos puntos de vista. Por ejemplo, cuando se aplica el método de Lindenbaum-Tarski a la lógica intuicionista y a la lógica de Lukasiewicz de valor infinito se obtienen las álgebras de Heyting y las álgebras de Wajsberg, respectivamente. En este contexto, los teoremas de puente que relacionan las propiedades metalógicas de una lógica con las propiedades algebraicas de su contraparte algebraica adquieren un interés adicional en AL. 

  En este tutorial, introduciremos al estudiante en este campo de estudio . 

1ª sesión: Elementos del álgebra universal

En esta sesión presentaremos las nociones de operación n-aria, álgebra, subálgebra, homomorfismo, relación de congruencia y álgebra del cociente. Vamos a mostrar algunos ejemplos. A continuación, nos centraremos en algunas álgebras de la lógica: álgebras de Heyting y álgebras booleanas.  

2ª sesión: El método de Lindenbaum-Tarski

Presentaremos el cálculo proposicional intuicionista (IPC) y el cálculo proposicional clásico (CPC). Luego, construiremos las respectivas álgebras de Lindenbaum-Tarski y demostraremos los teoremas de solidez y exhaustividad.

3ª sesión: Teoremas del puente

En esta sesión final, vamos a mostrar algunos teoremas que relaciona las propiedades metalógicas de una lógica a las propiedades algebraicas de su contraparte algebraica.

Referencias

 [1] S. Burris and H. P. Sankappanavar, “A Course in Universal Algebra of Graduate Texts in Mathematics,” Springer-Verlag, Berlin, 1981. 

 [2] Font, J.M. (2003). An Abstract Algebraic Logic View of Some Multiple valued Logics. In: Fitting, M., Orlowska, E. (eds) Beyond Two: Theory and Applications of Multiple-Valued Logic. Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol 114. Physica, Heidelberg. 

 [3] Font, J.M., Jansana, R. & Pigozzi, D. A Survey of Abstract Algebraic Logic. Studia Logica 74, 13–97 (2003).