La Teoría de Modelos es la rama de la Logíca Matemática dedicada a describir las estructuras matemáticas clásicas. Es la razón porque tiene algo que decir sobre la Algebra y la Geometría Algebraica, en particular sobre sus teoremas los mas profundos del Siglo XX. Teoría de Modelos, Geometría Algebraica, y Matemáticas

A menudo los ve a través de un quadro simplificado que le permite controlar su descripción, lo que significa que no siempre puede dar cuenta de todos los fenómenos que desearía describir. Un ejemplo tipico es su tratamiento de las ecuaciones diferenciales ; el Anàlisis sugiere que la solución de un ecuación de orden  n  depende de  n  parámetros constantes independientes ; sin embargo, los cuerpos diferentialmente cerrados contradicen esta intuición, con la notable excepción de las ecuaciones lineales : en general las soluciones de una ecuación de orden  n  forman un conjunto de dimensión uno sin estructura alguna, ajeno al cuerpo de las constantes ; esto se debe a que, para obtener una teoría de modelos manejable, uno se limita a una estructura donde las únicas funciones disponibles son las fracciones racionales de las variables y sus derivadas iteradas, lo que no permite el establecimiento de un teorema de funciones implícitas.

En cierta manera, la Geometría Algebraica hace lo mismo quando estudia los grupos algebraicos, que eran al principio una nocíon de Análisis complejo. Un resultado mayor de las Matematicas de los años 50 (Chevalley, Weil, y otros), es que los Grupos de Lie pueden traducirse a una nocíon de Algebra pura, que tienen sentido dentro un qualquier cuerpo algebraicamente cerrado.

Esos cuerpos son también un campo de lugar favorito de los teóricos de modelos debido a sus propriedades muy especiales (eliminación de los cuantificatores, eliminación de los elementos imaginarios, proprietad de finitud local, etc), pero los veen de una manera un poco diferente de aquélla de los agebraistos : los primeros viven dentro el mundo de los conjuntos definibles y de las funciones constructibles, los secundos dentro el mundo de las variedades y de los morfismos.

En esta charla, vamos a describir los dos maneras de acercase de los Grupos Algebraicos.