機器の分類

　ループ運転状態を考える際には、システムを構成する機器／要素を３種類に分類して取り扱って行く必要がある。

　第一の種類は外部からの支援なしに運転の継続が可能である機器で自己支持型（SS-type：Self-sustained type）と呼ぶ。具体的な例としては、蓄電池、アイソトープ電池、蓄圧タンク、高所に設置された給水タンク、外部電源等が考えられる。

　第二の種類は出力を生成するためには他の機器からの支援（入力）を必要とし、ループ運転を継続するのに必要な駆動力を生成する性質を持っている機器である。生成型（G-type：Generative type）と呼ぶことにする。G-typeの機器では起動指令が与えられても必要とされている入力が無い場合には運転状態とはならず、出力を生成することはできない。具体的な例としては、エンジン、電動モータ、ポンプ等がある。これらの機器は健全状態であっても燃料、電力、給水等の入力が無い場合は起動指令を与えても、それぞれ期待される動力、水流等の出力を生成することはできない。

　第三の種類は伝達型（T-type：Transmitter type）である。この機器でも入力が無い場合には出力を生成することはできない。出力は入力と同一の性質のもの、あるいは性質を変換したものを供給する。このタイプの機器の例としては、配管、電線、変圧器、エネルギー変換器等がある。ただし、これらの機器はループ運転継続のための駆動力は生成しない。従ってT-typeのみでループ構造を作成しても自立的な運転状態を実現することはできない。

機器状態の表現方法

　機器Aが時刻 t において待機中で健全である事象をSA(t) とする。SA(t) は時間経過とともに単調に減少する（部分事象となる）連続性を持った事象とする。事象SA(t) の発生確率Pr(SA(t)) は一例として次式の様に表わせられる。

　Pr( SA(t) )=　SA0 ・exp（－λA,S・t ）　　　　　　　　　　　　　　　 (1)

ここで、SA0 は初期に健全である確率、λA,S は機器Aの待機中の故障率で一定値の場合である。

　次に、起動指令が与えられ運転状態へ移行する場合を考える。起動指令事象をσA,1 、起動指令が与えられた時正常に運転開始する事象を DA,1 、運転開始後の運転中の健全性推移事象をOA(t) とする。 OA(t) も時間経過とともに単調に減少する連続性を持った事象とする。ここで、添え字の “A,1” は機器A へ与えられる第1回目の起動指令機会を意味し、その時刻を tA,1 と表記する。機器A が運転中である事象は次式で表現される。

　　SA( tA,1-t0 )・σA,1・DA、1・OA( t-tA,1 )　　　　　　　　　　　　　(2)

ここで、t0 は検討を開始した時点、つまり初期時刻を意味する。SA(t)σA,1DA,1 あるいは、SA(t)σA,1DA,1OA(t) と各要素の積のセットで初めて運転状態事象として意味をなす。運転中である事象の発生確率の具体的一例としては次式の表現がある。

Pr｛ SA( tA,1-t0 )・σA,1・DA、1・OA( t-tA,1 ) ｝=　SA0・exp（－λA,S・( tA,1-t0 ) ）・ Pr(σA,1 )・ Pr(DA、1 )・exp（－λA,O・( t-tA,1 ) ）　　　　(3)

ここで、λA,O は機器A の運転中の故障率、( t-tA,1 ) は運転開始後の継続時間である。

　時刻 t>tA,1 における表記(3)式を見ると、運転状態へ移行後は時刻 tA,1 までの待機中の健全性事象 SA( tA,1-t0 ) は確定した事象となっている。　同様に起動指令σA,1 と運転開始成功事象 DA,1 も確定事象である。時刻tの関数となっているのは(3)式の場合 OA( t- tA,1 ) だけである。この区別を明確にするため、変数でない時刻 tA,1 等をτA,1 の様にギリシャ文字表記とし、変数を含まない確定事象であることの判別が容易な表記法を用いる。

　　　SA(τA,1-τ0 )・σA,1・DA、1・OA( t-τA,1 )　　　　　　　　　(4)

なお、σA,1 とσA,2 はそれぞれ異なる時刻に与えられる起動指令で互いに独立な事象として扱う。

　これまでの式において出てきた SA(t)、OA(t) は機器そのものの特性を表している。SA(t) は機器に対して起動指令が一切与えられない場合の健全性であり、OA(t) は完全なる起動が達成された後の事象である。いわば基本要素的事象である。これに対し、(2)式は特定の運転条件に置かれた機器が運転状態にある事象である。　

  機器は一度起動され運転状態になっている場合は再度起動されることはないことに留意する必要がある。i 回目の起動指令機会において起動され運転状態となっている事象を AiO(t) と表記する。異なる起動指令機会において運転状態となった事象間には、　AiO(t) ・AjO(t) =φ（i≠ｊ）　の関係がある。

機器の運転状態（SS-type)

　SS-typeの機器Aに外部からの起動指令が与えられる機会が 複数回ある場合を考える。各機会において起動指令が与えられる事象をσA,j とし、その時の起動成功事象をDA、j とする。

　i 番目の起動指令機会で運転状態となった事象は、前節の表記を用いると一般的に次の式で表される。 

　ここで、σA,j・DA、j　は起動指令機会 j において起動指令が与えられなおかつ起動が成功した事象を意味する。　時刻 t において機器Aが運転状態にある全事象は次の式となる。 

機器の運転状態（G-type)

　次にG-type 機器の運転状態表現について検討する。G-type は他の機器からの支援（入力）を必要とするので、下図に示すようにSS-type 機器A により支援されているG-type 機器B を考える。

　機器B に複数回の起動指令が与えられる場合の時刻 t において機器B が運転状態にある全事象は次の式となる。 

　なお、B の後ろに別のG-type 機器C が直列に繋がった場合のC の運転状態事象CO(t) は次式となる。本論では、後続の機器C が運転状態になくても上流に置かれた機器B の運転継続は可能であるとした。 

機器の運転状態（T-type)

　T-type 機器の運転状態表現はG-Type と同一となる。T-type は駆動力を持った出力を生成しない点が G-type と異なるが、運転状態には入力を必用とする点ではG-type と同一であるためである。

　ただ、T-type は受動的機器である場合が多く、その場合起動指令σは必要なく、待機中と運転中の故障率に差が無い場合も出てくる。 

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