Konsep Himpunan

Di dalam kehidupan sehari-hari, kata himpunan dipadankan dengan kumpulan, kelompok, grup, atau gerombolan. Dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan.

Untuk lebih jelasnya kalian bisa baca buku paket mengenai materi Himpunan.

Pengertian Himpunan

Coba amati beberapa kumpulan yang termasuk himpunan dan bukan himpunan.

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

1.1 Penyajian Himpunan

1. Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis menggunakan pasangan kurung kurawal {}.

Contoh: P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika P = {a, e, i, o, u} maka n(P) = banyak anggota himpunan P = 5.

2. Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

a. Dengan kata-kata

Menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan

Menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya, namun anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh: P = {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x bilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota - anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggotanya menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal dan anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {10, 11, 12, 13}

1.2 Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

1. Himpunan Kosong

Contoh: Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi . Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai anggota) karena jumlah sisi persegi adalah empat.

2. Himpunan Semesta

Contoh : Tentukan himpunan semesta dari {kerbau, sapi, kambing}. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang} atau {binatang berkaki empat}

1.3 Diagram Venn

2.1 Kardinalitas Himpunan

Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n (A) = 5. Himpunan A disebut himpunan berhingga karena banyaknya anggota A berhingga.

Jika B adalah bilangan asli yang habis dibagi 2 maka B = {2, 4, 6, ...} dengan n (B) = tak berhingga. Himpunan B disebut himpunan tak berhingga karena banyaknya anggota B tak terhingga.

2.2 Himpunan Bagian

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {1, 2, 3, 4, 6}

Berdasarkan ketiga himpunan diatas, terlihat bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan C. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C.

2.3 Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan P(A) dengan anggota-anggotanya merupakan himpunan bagian dari himpunan A. Banyak anggota himpunan A dapat ditulis n(A). Banyak anggota himpunan kuasa dapat dihitung menggunakan rumus :

Contoh: Himpunan A yang anggotanya merupakan bilangan ganjil yang kurang dari 5. Maka banyak anggota A adalah 3 buah yaitu A = {1, 3, 5}. P(A) merupakan himpunan kuasa dari A dengan semua anggotanya merupakan himpunan bagian dari A. Jadi, banyak anggota P(A) adalah 8 yang terdiri dari { }, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}.

2.4 Kesamaan Dua Himpunan

Jika himpunan A dan B memiliki anggota yang sama tanpa melihat urutannya, maka himpunan A dan B dikatakan sama jika anggota A termasuk anggota B, dan demikian juga sebaliknya. Kesamaan himpunan A dengan himpunan B bisa di tuliskan dengan lambang A = B.

Contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1}. Maka A = B, karena anggota himpunan A juga ada dalam anggota himpunan B, dan juga sebaliknya anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A.