Donner les grandes étapes d'une démonstration

Lien entre intégrale et primitive

Démonstration par récurrence

Les différents types de démonstrations rencontrées, importance de la première étape avec exemples et contre-exemples, celles qui utilisent l’hypothèse de récurrence aisément, celles qui nécessitent en plus la résolution d’une inéquation, celles qui utilisent une formule complexe (formule du binôme). 

a) L’importance de la première étape d’initialisation

Exemples et contre-exemples (cas pathogènes) :

Exemple 1 : « ∀𝑛 ∈ ℕ, P(n) = 𝑛² + 𝑛 + 41 est premier ».

Cette assertion est fausse. Or, P(j) est premier pour j entier compris entre 0 et 40. Cet exemple montre qu’il n’est pas toujours aisé d’étudier l’initialisation. Ici, on arrive à « initialiser » mais la propriété n’est pas vraie.

Exemple 2 : « 3²ⁿ⁺⁴ − 2ⁿ 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 4 ».

Cette proposition est héréditaire mais il n’existe aucune valeur de n pour laquelle elle soit vraie. Cet exemple montre que l’étape de l’hérédité est non suffisante.

Exemple 3 : « 7ⁿ + 1 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 6 ».

Là encore, cette proposition est héréditaire mais n’est vraie pour aucune valeur de n.

Exemple 4 : « cos(𝑛𝜋) = 0 ».

Cette proposition est héréditaire mais n’est vraie pour aucune valeur de n.

b) Les différents types de démonstrations d’hérédité dont l’exposé des grandes lignes de l’une d’entre elles pourra être fait :

Exemple 1 : Avec le symbole Σ.  (pour k allant de 1 à n) Σk² = n(n+1)(2n+1)/6.

Exemple 2 : Binôme de Newton (appel à la formule de Pascal).

Exemple 3 : Card P(E) avec construction ensembliste pour l’hérédité.

Exemple 4 :Hérédité avec résolution d’une inéquation. Exemple Pour « 𝑛 ≥ 4, 2ⁿ ≥ 𝑛! » avec l’utilisation d’une condition suffisante pour prouver l’hérédité.  Exemple de l’utilisation d’une fonction croissante.

c) Intersection avec d’autres parties du programme

Exemples où se mêlent récurrence et fonctions :

i) Dérivée de 𝑥ⁿ

Soit f la fonction définie sur ℝ+ par f(𝑥) = 𝑥ⁿ où n ∊ ℕ*, démontrer en utilisant le raisonnement par récurrence que 𝑓’(𝑥) = 𝑛𝑥ⁿ⁻¹

ii) Considérons la fonction g définie sur ℝ∗ par g(𝑥) = 1/𝑥ⁿ, où n ∊ ℕ*, prouver que, pour tout n ∊ ℕ*, et pour tout x ∊ ℝ∗, on a 𝑔(𝑥) = 𝑥⁻ⁿ et 𝑔’(𝑥) = −𝑛𝑥⁻ⁿ⁻¹ .

iii) Justifier alors le théorème : Pour tout n ∊ ℕ*, pour tout x ∊ ℝ∗ , Si f(𝑥) = 𝑥ⁿ alors𝑓’(𝑥) = 𝑛𝑥ⁿ⁻¹. Utiliser ce théorème pour calculer les dérivées des fonctions suivantes : 𝑥 ⟼𝑥-3, 𝑥 ↦ 1/𝑥⁵ ,   𝑥 ↦ -2/𝑥⁴ .

iv) Dérivée de 𝑓ⁿ .

d) La récurrence et le jeu

Exemple autour du jeu des tours de Hanoï :

On considère trois lignes verticales A, B et C. Le jeu consiste à amener sur la tige C les disques empilés sur la tige A. Pour cela, on utilise la tige B comme intermédiaire en respectant les règles suivantes :

- On ne déplace qu'un disque à la fois

- Tout disque doit être au-dessus d'un disque de diamètre supérieur.

i) Soit dn le nombre minimal de déplacements, n désignant le nombre de disques. Prouver que la suite (dn) est définie par d1= 1  et dn+1 = 2dn + 1.

ii) Calculer d2, d3, d4 et d5.

iv) Conjecturer une expression de dn en fonction de n. La démontrer par récurrence.

e) Donner des exemples (avec preuve) de propositions vraies et de propositions fausses. On pourra au préalable faire un exposé sur les façons de prouver qu’une phrase quantifiée universellement (ou existentiellement) est vraie ou fausse.

i) Exemple : Pour tout entier naturel n, si n(n²+4) n’est pas divisible par 8, alors n est impair. Cet exemple est propice à l’explicitation de la preuve par contraposée.

ii) Exemple : Pour tout entier naturel n, n²-n+4 est un nombre pair. Cet exemple est propice à l’explicitation de la démonstration par disjonction des cas mais la preuve peut également se faire directement.

iii) Exemple: Pour tout entier naturel n, n²-n+41 est un nombre premier.

iv) Exemple : Une suite convergente est croissante ou décroissante.

Ces deux derniers exemples sont propices à l’utilisation de la preuve par le contre-exemple. L’avant-dernier exemple est intéressant car il montre l’éventuelle (et quand même rare il faut bien l’avouer) complexité de l’initialisation.