Suma, resta, produto (división?). Potencia
Matriz inversa
Toda matriz é similar a algunha matriz diagonal superior.
Se A é nilpotente, a liña diagonal é nula.
Descomposición SN: toda matriz A pódese expresar como
A= S+N, sendo S diagonalizable, N nilpotente, e SN = NS
Espazo Dual
,,,,,,,,
Os grupos de Lie están dotados de diferenciabilidade.
Grupo unitario UK(n) de grao n, é o grupo de matrices unitarias (de n x n) cuxas compoñentes pertencen ao corpo K.
Se K é R, temos O(n): matrices reais nxn.
Se o determinante é 1, temos o subgrupo unitario especial SO(n), baseado na métrica euclídea.
SO(2) son as rotacións no plano (conservan a circunferencia unitaria e tódalas circunferencias centradas na orixe), SO(3) son as rotacións no espazo (conservan a esfera unitaria e tódalas esferas centradas na orixe).
Usando a métrica de Minkowski, temos SO(1,1) como o conxunto de rotacións no plano et, e o subgrupo especial SO+(1,1) dos boosts, as transformacións que non invirten o sentido do tempo. No espazotempo tridimensional, o grupo chámase SO+(3,1).
Se K é C, temos U(n): matrices complexas nxn.
O grupo U(1) é o círculo unidade no plano complexo, coa súa multiplicación. Todos os grupos unitarios complexos conteñen copias deste grupo.
O grupo unitario U(n) é un grupo de Lie real de dimensión n². O álxebra de Lie de U(n) consiste nas matrices anti-simétricas complexas nxn, co corchete de Lie dado polo conmutador, [A,B]=AB-BA, o cal é un operador que satisface unha mesma relación alxébrica que as derivadas, que é unha relación a tres variables coñecida como identidade de Jacobi:
[A,[B,C]]+ [B,[C,A]]+ [C,[A,B]] = 0
Se A,B,C son vectores, corresponde coa identidade triple do produto vectorial:
Ax(BxC) + Bx(CxA( + Cx(AxB) = 0
Digo eu:
Isto débese a que o conmutador do produto xeométrico é o produto vectorial: ½ [A,B] = ½ (AB-BA) = (AxB). Só é nulo para vectores colineais.
E se son bivectores?
As matrices de U(n) teñen determinante complexo de módulo unidade. Se o determinante é igual a 1(real e positivo) Temos o grupo unitario especial SU(n).
O grupo SU(1) só ten un elemento (é trivial)
O grupo unitario especial de segundo orden, SU(2), é unha variedade diferenciable de dimensión 3, que pode ser identificada homeomórficamente co conxunto de matrices de coeficientes complexos unitarias e de determinante 1.
De feito, o grupo SU(2) é isomorfo ao grupo de cuaternios de valor absoluto 1, difeomorfo á 3-esfera. Xa que os cuaternios unidade pódesen utilizar para representar rotacions no espacio de 3 dimensions (salvo signo), temos un homomorfismo sobrexectivo dos grupos de Lie SU(2) → SO(3) cuxo núcleo é { + I, -I}.