SU(N)

O grupo unitario especial de grao n é o grupo de matrices unitarias n x n con determinante igual a 1, coas entradas no corpo C

Unitarios U(n) columnas: vectores unitarios, dimensión: n2 (hai 2n2 GL e n2 restricións debidas á unitariedade)

U(1):
U(2): Columnas ortonormais (AA* = I)

Special Unitary SU(n) €U(n) con det=1 (1 restrición adicional → dimensión = n2-1

SU(2)

É unha variedade diferenciable de dimensión 3, que pode ser identificada homeomórficamente co conxunto de matrices de coeficientes complexos unitarias e de determinante 1.

Dimensión: 3 = 22-1
- son 4 núms complexos (8 GL)
- Cada un é unitario (módulo 1: 4 restricións)
- det = 1: restrición adicional

Descomposición dunha matriz A de SU(2) en matrices de Pauli

σ1 σ2 σ3

(0 1) (0 -i) (1 0)

(1 0) (i 0) (0 -1)

Parametrizacións
- Matriz complexa A

(a -b*)

(b a*) Coa condición |a|2+|b|2 = 1

a = a1+i•a2, b = b1+ i•b2

Descomposición: 2-esfera e ángulo

A = exp[i•θ/2)(n•σ)] = cos(θ/2) + i• sin(θ/2)(n1σ1+n2σ2+n3σ3)

Sendo |n| = 1

cos(θ/2) = c, sin(θ/2) = s

Busco: (θ, n1, n2, n3) en función de (a1, a2, b1, b2)

Matriz A (columna 1). Suponse que será tamén para a columna2.

a = a1+i•a2 = c+i•s•n3

b = b1+ i•b2 = s•n1+ i•s•n2

c=a1, s•n3=a2, s•n1=b1, s•n2=b2

=2arcos(a1) , n1=b1/√(1-a1^2), n2=b2/√(1-a1^2), n3=a2/√(1-a1^2)

Seleccionar a e b mediante 3 ángulos (2 son as fases de a e b, o outro danos os raios como cos e sin na circunf unit.). Para facer Locus.

SU(2): r9bwfdze constrúe a matriz A no plano (amosa o eixe X), mediante 4 ptos unidos por segmentos. Varía C (relación de raios para A e B) e A (azul), B (verm). En 3D presenta o pto de S3 e os locus de B (paralelo vermello) e de A e C (meridiano azul), asi como os ptos de áng θ/2 e θ. Tamén os ángulos de Euler (φ, θ, ψ). Tamén a representación estereográfica (Z,α)

SU(3)

É un grupo de Lie de dimensión 8, importante en físicapor ser o grupo de simetría da cromodinámica cuántica que describe a Interacción nuclear forte, teoría que explica tanto a estrutura interna de protóns e neutróns como de explicar a estabilidade dos núcleos atómicos.

Page updated

Google Sites

Report abuse