Cada grupo de Lie dá lugar a unha álxebra de Lie, que é o espazo tanxente na identidade.
Para calquera álxebra de Lie de dimensión finita sobre os números reais ou complexos, existe un grupo de Lie conectado correspondente, único ata cubrir espazos (terceiro teorema de Lie). Esta correspondencia permite estudar a estrutura e a clasificación dos grupos de Lie en termos de álxebras de Lie, que son obxectos máis simples da álxebra lineal.
Para calquera grupo de Lie, a operación de multiplicación preto do elemento identidade 1 é conmutativa de primeira orde. Noutras palabras, cada grupo de Lie G é (de primeira orde) aproximadamente un espazo vectorial real, concretamente o espazo tanxente a G na identidade. De segunda orde, a operación de grupo pode ser non conmutativa, e os termos de segunda orde que describen a non conmutatividade de G preto da identidade dan a estrutura dunha álxebra de Lie. É un feito rechamante que estes termos de segunda orde (a álxebra de Lie) determinen completamente a estrutura de grupos de G preto da identidade.
O corchete de Lie mide o fallo da conmutatividade para o grupo de Lie.
6a-Tanxencias
Plano de Argand
6b-so(n)
6c-su(n)
6d-Conmutador