Alxebras

Cada grupo de Lie dá lugar a unha álxebra de Lie, que é o espazo tanxente na identidade.

O corchete de Lie mide o fallo da conmutatividade para o grupo de Lie.

Para calquera álxebra de Lie de dimensión finita sobre os números reais ou complexos, existe un grupo de Lie conectado correspondente, único ata cubrir espazos (terceiro teorema de Lie). Esta correspondencia permite estudar a estrutura e a clasificación dos grupos de Lie en termos de álxebras de Lie, que son obxectos máis simples da álxebra lineal.

Para calquera grupo de Lie, a operación de multiplicación preto do elemento identidade 1 é conmutativa de primeira orde. Noutras palabras, cada grupo de Lie G é (de primeira orde) aproximadamente un espazo vectorial real, concretamente o espazo tanxente a G na identidade. De segunda orde, a operación de grupo pode ser non conmutativa, e os termos de segunda orde que describen a non conmutatividade de G preto da identidade dan a estrutura dunha álxebra de Lie. É un feito rechamante que estes termos de segunda orde (a álxebra de Lie) determinen completamente a estrutura de grupos de G preto da identidade.

so(N) apps

bbcjduv9 para so(2)

Nesta app obsérvase a tanxencia de so(2) na identidade de SO(2).

so(2) é a matriz antisimétrica do segmento rosa. Variando o factor de escala vemos que os extremos deste (azul e verde) desprázanse en liñas rectas da mesma cor e dende a orixe.

SO(2) é a matriz de rotación do segmento amarelo centrado no punto E.

Obsérvase que o segmento amarelo é perpendicular ao raio de E dende a orixe.

Ao desprazar o cursor escalar vemos que os extremos da matriz de rotación describen arcos de circunferencia a partir da identiade (representada por un segmento gris)

As rectas tanxentes nos extremos deste segmento gris son paralelas ás liñas rectas descritas pola matriz so(2), representando o feito de que so(2) é o espazo tanxente a SO(2) na identidade.

: g92bpvuy para so(3)

Nesta app obsérvase a tanxencia de so(3) na identidade de SO(3).

so(3) é a matriz antisimétrica do triángulo rosa visible ao activar o cursor. Variando o factor de escala vemos que os extremos deste (azul, verde ee vermello) desprázanse en liñas rectas da mesma cor e dende a orixe.

SO(3) é a matriz de rotación do triángulo amarelo centrado no punto E.

Obsérvase que o triángulo amarelo tamén é perpendicular ao raio de E dende a orixe.

Ao desprazar o cursor escalar vemos que os extremos da matriz de rotación describen arcos de circunferencia a partir da identiade (representada por un triángulogris)

As rectas tanxentes nos extremos deste segmento gris son paralelas ás liñas rectas descritas pola matriz so(3), representando o feito de que so(3) é o espazo tanxente a SO(3) na identidade.

Page updated

Google Sites

Report abuse