SU(2): r9bwfdze constrúe a matriz A no plano (amosa o eixe X), mediante 4 ptos unidos por segmentos. Varía C (relación de raios para A e B) e A (azul), B (verm). En 3D presenta o pto de S3 e os locus de B (paralelo vermello) e de A e C (meridiano azul), asi como os ptos de áng θ/2 e θ. Tamén os ángulos de Euler (φ, θ, ψ). Tamén a representación estereográfica (Z,α)
Unitarios U(n) columnas: vectores unitarios, dimensión: n2 (hai 2n2 GL e n2 restricións debidas á unitariedade)
U(1):
U(2): Columnas ortonormais (AA* = I)
Special Unitary SU(n) €U(n) con det=1 (1 restrición adicional → dimensión = n2-1
SU(2):Dimensión: 3 = 22-1
son 4 núms complexos (8 GL)
Cada un é unitario (módulo 1: 4 restricións)
det = 1: restrición adicional
Matrices de Pauli:
σ1 σ2 σ3
(0 1) (0 -i) (1 0)
(1 0) (i 0) (0 -1)
Parametrizacións
Matriz complexa
(a -b*)
(b a*) Coa condición |a|2+|b|2 = 1
Apps:
Círculo unitario. A no interior. Perp ao raio, corte co círculo: raio de B. Como se pode descompoñer nas matrices de Pauli?
Variante: 3 ángulos (2 son as fases de a e b, o outro danos os raios como cos e sin na circunf unit.). Mellor para facer Locus. r9bwfdze
A e B libres no plano. Circ° “unitario”: r2 =a2+b2
3-esfera S3 (en R4)
Puntos en R4
a=x0+ix3, b=x2+ix1
U=x0•I+i(x1σ1+x2σ2+x3σ3)
x12+x22+x32+x02 = 1 (S3 en R4)
prox conforme en 3d: progresión 1d, 2d, 3d ?
Ángulos de Euler: φ(0,2π), θ(0,π), ψ(0,4π, pois SU(2) cubre a S3 dúas veces)
U = exp(-i•φ/2•σ1)+exp(-i•θ/2•σ2)+exp(-i•ψ/2•σ3)
Exponencial: U = exp(-i•θ/2 n•σ)
n : vector unitario en R3 (|n|=1), θ (0, 2π)
U = cos(θ/2)•I - isin(θ/2)(n1σ1+n2σ2+n3σ3)
É a esfera S3: x0=cos(θ/2), (x1,x2,x3)= sin(θ/2)•n
Parámetros de Hopf: a,b
a = cos(θ/2)exp(-i(φ+ψ)/2, b = sin(θ/2)exp(-i(φ-ψ)/2
Proxección estereográfica: complexo (z) e fase (α)
U = k (1 -z*) (e^(i•α) 0 )
(z 1 ) ( 0 e^-(i•α))
sendo k = 1/(1+|z|2)
Cuaternios unitarios
q = q0+q1i+q2j+q3k
Equivalencia matricial:
1→ I, i→-iσ1, j → -iσ2, k → -iσ3
Equivalencia espinorial (GA):
1→ 1, i→σ12, j → σ23, k → σ31