En matemáticas, un grupo de Lie é un grupo que tamén é unha variedade diferenciable. Por unha banda, un grupo é unha estrutura alxébrica equipada cunha operación binaria, normalmente unha multiplicación e a súa inversa, a división, ou unha suma e a súa inversa, a resta. Por outra banda, unha variedade é un espazo que localmente se asemella a un espazo euclidiano. Aquí, interésanos un conxunto que sexa á vez un grupo e unha variedade. Se as operacións de grupo (multiplicación e inversión) son continuas, obtemos un grupo continuo. Se, ademais, estas operacións de grupo son diferenciables, trátase dun grupo de Lie.
A teoría dos grupos de Lie describe a simetría continua nas matemáticas. Na física teórica (por exemplo, na teoría dos quarks), a súa importancia fíxose evidente durante o século XX.
Nomenclatura de grupos
de Lie → diferenciabilidade.
Ortogonal O(n): matrices reais cuxa inversa é igual á transposta (teñen determinante de módulo 1)
Ortogonal especial SO(n): Rotacións (determinante 1)
Métrica de Euclides: Rotacións de Euclides
SO(2): no plano
SO(3): no espazo
Métrica de Minkowski
Rotacións de Minkowski (inclúe Boosts)
SO(1,1)
SO(3,1)
Boosts (preservan o sentido do tempo)
SO+(1,1) o que visualizo nas apps
SO+(3,1) manéxase con GA
Unitario U(n) → matrices unitarias (nxn) complexas, e cuxa inversa é igual á transposta conxugada (teñen determinante con módulo 1)
U(1): circunferencia unidade no plano complexo
U(n): matrices anti-simétricas, co corchete de Lie dado polo conmutador, [A,B]=AB-BA, o cal é un operador que satisface unha mesma relación alxébrica que as derivadas, que é unha relación a tres variables coñecida como identidade de Jacobi:
[A,[B,C]]+ [B,[C,A]]+ [C,[A,B]] = 0
Se A,B,C son vectores, corresponde coa identidade triple do produto vectorial:
Ax(BxC) + Bx(CxA( + Cx(AxB) = 0
Digo eu:
Isto débese a que o conmutador do produto xeométrico é o produto vectorial: ½ [A,B] = ½ (AB-BA) = (AxB). Só é nulo para vectores colineais.
E se son bivectores?
Unitario especial SU(n): determinante 1
SU(1) só ten un elemento (é trivial)
SU(2): variedade diferenciable de dimensión 3, que pode ser identificada homeomórficamente co conxunto de matrices de coeficientes complexos unitarias e de determinante 1 (matrices de Pauli, spin clásico) De feito, o grupo SU(2) é isomorfo ao grupo de cuaternios de valor absoluto 1, difeomorfo á 3-esfera. Xa que os cuaternios unidade pódesen utilizar para representar rotacions no espacio de 3 dimensions (salvo signo), temos un homomorfismo sobrexectivo dos grupos de Lie SU(2) → SO(3) cuxo núcleo é { + I, -I}.
SU(3): matrices de Gell-Mann (interacción forte, cromodinámica)
SU(1,1): disco de Poincaré