In the Western אשכנזי tradition there are specific tunes for הושענא רבה:
ברכות ק"ש 1 - שחרית - KAYJ [MF]
ברכות ק"ש 2 - שחרית - KAYJ [MF]
The ס"ת is returned to the ארון using the same melodies as the ימים נוראים, with the exception of:
הכנסת ס"ת - תהלים כד - KAYJ [MF]